Коротко: перестановка сумм в бесконечном двойном ряде может менять значение, если ряд не абсолютно сходится. Ниже — формулировки, контрпример и критерии безопасности.
1) Основные утверждения
- Абсолютная сходимость. Если
$$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{mn}|<\infty ,$$ то двойной ряд сходится абсолютно и любые итерации (и любые перестановки членов) дают одно и то же значение:
$$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{mn}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{a}_{mn}.$$ (Аналог Фубини для рядов.)
- Ненегативные члены (Тонелли). Если $a_{mn}\ge 0$ для всех $m,n$, то все итерации дают одно и то же значение (возможно $+\infty$):
$$\sum _m\sum _n{a}_{mn}=\sum _n\sum _m{a}_{mn}.$$
2) Контрпример (различие итераций)
Пусть
$$a_{1,1}=1,a_{n,n}=1(n\ge 1),a_{n+1,n}=-1(n\ge 1),$$ все остальные $a_{mn}=0$. Тогда для суммы по строкам (сначала по $n$, потом по $m$):
- сумма по столбцам в каждой строке: для $m=1$ даёт $1$, для $m\ge 2$ даёт $1-1=0$, значит
$$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{mn}=1.$$ А для суммы по столбцам сначала (сначала по $m$, потом по $n$):
- в каждом столбце стоящие ненулевые элементы даются парами $1$ и $-1$, их сумма по строкам равна $0$, значит
$$\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{a}_{mn}=0.$$ Итого — разные значения (1 и 0) при разном порядке суммирования.
3) Почему это возможно
Если ряд условно сходится (не абсолютно), то положительные и отрицательные вклады могут быть сгруппированы/переставлены так, что их суммарный предел меняется (аналог теоремы Римана о перестановках для одномерных рядов).
4) Практические критерии безопасности (достаточные условия)
- Абсолютная сходимость: если ${\sum }_{m,n}|a_{mn}|<\infty$, менять порядок можно свободно.
- Ненегативность: если все $a_{mn}\ge 0$, порядок не важен (включая случаи с бесконечной суммой).
- Доминирование (Weierstrass M-test для рядов): если существуют числа $M_{mn}\ge 0$ с $|a_{mn}|\le M_{mn}$ и ${\sum }_{m,n}{M}_{mn}<\infty$, то абсолютная сходимость и безопасность перестановок.
- В приложениях с функциональными рядами: условия равномерной сходимости и суммируемости доминирующих функций (аналог для интегралов/рядов по параметру) дают возможность менять порядок сумм/интегрирования.
5) Вывод
Если требуется гарантировать инвариантность при смене порядка суммирования — требуйте абсолютной сходимости или неотрицательных членов (или докажите доминирование абсолютно суммируемой мажорой). В отсутствии этих условий перестановки могут изменить значение или привести к расходимости.