Несколько удобных формул для радиуса вписанной окружности $r$ треугольника со сторонами $a,b,c$, полупериметром $s$ и углами $A,B,C$, с краткими пояснениями и указанием, когда каждая удобна.
1) Через площадь и полупериметр (универсальная и простая):
$$r=\frac{\Delta }{s},s=\frac{a+b+c}{2},\Delta =\text{площадь треугольника}.$$ Удобно, когда известна площадь (например, по координатам — формула площадей или через векторный/шнуровой метод).
2) Через формулу Герона (когда известны все стороны):
$$\Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$$ Лучше всего для задач с численно заданными сторонами.
3) Через описанный радиус $R$ и стороны:
$$\Delta =\frac{abc}{4R}\Rightarrow r=\frac{abc}{4Rs}.$$ Полезно, если известен $R$ (например, при работе с отношением радиусов или при применении теоремы синусов).
4) Через половинные углы (тригонометрическая форма):
$$r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.$$ Удобно в задачах, где заданы углы (или их половины) и/или используется $R$.
5) Через тангенсы половинных углов (локальные длины у вершины):
$$\tan \frac{A}{2}=\frac{r}{s-a}\Rightarrow r=(s-a)\tan \frac{A}{2}\text{(и симметрично для других вершин).}$$ Эта форма особенно удобна в конструктивных задачах, при вычислениях отрезков рядом с вершиной (например, длины касательных от вершин).
6) Полезные выражения для половинных углов через стороны:
$$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}},\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},$$ что позволяет переводить тригонометрические формулы в чисто стороные выражения.
Рекомендации по выбору подхода:
- Если известны все три стороны (числово) — формула Герона + $r=\Delta /s$.
- Если треугольник задан координатами — сначала площадь (шнуровая), затем $r=\Delta /s$.
- Если заданы углы и описанный радиус $R$ — использовать $r=4R\prod \sin \frac{A}{2}$.
- В задачах конструкции/касательных/вписанных отрезков удобнее формулы с $\tan \frac{A}{2}$ и выражениями $s-a$.
- В теоретических выводах часто удобны смешанные формы (через $R$, через $s$ и через половинные углы) для получения соотношений между радиусами, сторонами и углами.
Если нужно, могу показать короткие выводы любой из формул или привести пример расчёта.