Короткий ответ: полезная точная ря́довая формула («Sophmore's dream») и эффективные численные приёмы.
1) Рядовое представление (вывод)
$$x^x=e^{x\ln x}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(x\ln x{)}^k}{k!},{\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{\int }_0^1{x}^k(\ln x{)}^{k}dx.$$ Используя ${\int }_0^1{x}^k(\ln x{)}^{k}dx=(-1{)}^k\frac{k!}{(k+1{)}^{k+1}}$ получаем
$$\boxed{{\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^n}.}$$ Этот ряд быстро сходится (члены убывают супер-экспоненциально: $1/n^n$).
2) Оценки погрешности ряда
Для частичной суммы $S_N={\sum }_{n=1}^N(-1{)}^{n-1}{n}^{-n}$ остаток при чередующемся знаке по правилу Лейбница ограничён модулем следующего члена:
∣∫01xx dx−SN∣≤1(N+1) N+1. \left|\int_0^1 x^x\,dx-S_N\right|\le\frac{1}{(N+1)^{\,N+1}}.
∫01 xxdx−SN ≤(N+1)N+11 . Поэтому даже небольшое $N$ даёт очень высокую точность.
3) Численное вычисление (практические приёмы)
- Самый простой и надёжный способ: просуммировать ряд до требуемой точности. Это обычно лучше, чем прямая квадратура, поскольку члены быстро убывают.
- Если предпочитаете квадратуру: сделайте замену $x=e^{-u}$ ($u=-\ln x$), тогда
$${\int }_0^1{x}^{x}dx={\int }_0^{\infty }{e}^{-u(1+e^{-u})}du,$$ что даёт гладкую интегральную функцию на $[0,\infty )$ с экспоненциальным спадом при $u\to \infty$. После этой замены хорошо работают метод Гаусса, адаптивный Симпсон или Кленшо—Куртис. Можно также разбить интервал $[0,1]$ на $[0,\epsilon ]$ и $[\epsilon ,1]$ и на $[0,\epsilon ]$ использовать разложение
$$x^x=1+x\ln x+O((x\ln x{)}^2)$$ для явной аналитической аппроксимации.
- Для высокой точности (многие знаки) эффективнее суммировать ряд с контролем остатка.
4) Гладкость функции и поведение в 0
- Функция $f(x)=x^x=e^{x\ln x}$ непрерывна на $[0,1]$ при естественном продолжении $f(0)=1$ (так как $x\ln x\to 0$).
- На интервале $(0,1]$ функция бесконечно дифференцируема; производные выражаются через $x^x$ и многочлены от $\ln x$. Первая производная
$$f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1)$$ стремится к $-\infty$ при $x\to 0^{+}$, поэтому производные не ограничены в окрестности нуля и функция не аналитична в точке $0$ (нет сходящейся степенной разложения в положительной окрестности 0, дающего функцию).
- Внутри $(0,1)$ есть минимум при $x=1/e$: $f(1/e)=(1/e{)}^{1/e}$.
5) Трудности аналитической интеграции
- У функции нет элементарного первообразного; интеграл выражается через указанную ря̀довую сумму (специальная константа), но не через элементарные функции.
- Попытки аналитического интегрирования приводят к разложениям или специальным функциям; закрытой формы в элементарных функциях нет.
6) Числовое значение
Суммирование ряда даёт приближённо
$${\int }_0^1{x}^{x}dx\approx 0.7834305(\text{несколько знаков точности; при увеличении}N\text{легко получить больше}).$$
Вывод: для практических вычислений — суммировать ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{n}^{-n}$ или использовать замену $x=e^{-u}$ и затем стандартные квадратурные методы; аналитического элементарного примитива не существует.