Кратко и по существу — три подхода и важные наблюдения.
Качественный анализ
- Уравнение: $y^{\prime }=y^2-x^2$. Это неавтономное уравнение; на плоскости $(x,y)$ нет стационарных точек как у автономной системы.
- Изоклины и знаки производной: $y^{\prime }=0$ на кривых $y=\pm x$. Внутри «конуса» $|y|<|x|$ имеем $y^{\prime }<0$; вне него $|y|>|x|$ — $y^{\prime }>0$.
- Поведение при больших величинах: если $|y|\gg |x|$, то $y^{\prime }\approx y^2$ и решение имеет поведение с возможным разрывом (полюсом) в конечной абсциссе (типично $y\sim \pm \frac{1}{x_0-x}$ при приближении к полюсу).
- Для малых $y$ по сравнению с $x$: $y^{\prime }\approx -x^2\Rightarrow y(x)\approx y(x_0)-\frac{x^3-x_0^3}{3}$ (кубическое снижение/увеличение).
- Гладкость/единственность: правая часть гладкая по $y$, следовательно для начальных условий $y(x_0)=y_0$ существуют и единственны локальные решения; однако решения могут иметь movable singularities (поля).
Методы аналитической сводимости (Риккати)
- Уравнение относится к классу Риккати: $y^{\prime }=q_0(x)+q_1(x)y+q_2(x)y^2$ с $q_0=-x^2,q_1=0,q_2=1$.
- Стандартная подстановка для Риккати $y=-\frac{u^{\prime }}{u}$ приводит к линейному уравнению второго порядка для $u$:
$$y=-\frac{u^{\prime }}{u}⟹u^{\prime \prime }=x^{2}u.$$ - Поэтому задача сведена к линейному уравнению с переменными коэффициентами $u^{\prime \prime }-x^{2}u=0$. Общий вид решений выражается через специальные функции (варианты параболических цилиндрических функций / сочетания экспонент и интегралов), но явных элементарных первообразных в общем случае нет.
- Восстановление $y$: $y=-u^{\prime }/u$. Нули $u(x_{\ast })=0$ дают полюса $y$ в точках $x_{\ast }$.
Разделение переменных
- Метод разделения переменных неприменим прямо, потому что правая часть зависит и от $y$, и от $x$ одновременно: нельзя представить как $f(y)g(x)$. Поэтому классического интегрирования через разделение переменных нет.
Численная интеграция
- Прямая интеграция $y^{\prime }=y^2-x^2$ (с явными методами типа RK4, RK45) работает для типичных начальных условий до тех пор, пока решение не начинает быстро расти (приближаться к полюсу). Рекомендации:
- Использовать адаптивный шаг (RK45) и контролировать величину $|y|$; при росте выше порога надо снижать шаг или остановить интеграцию (детектировать разрыв).
- Для точного нахождения полюса можно наблюдать взрыв $|y|\to \infty$ и затем локально искать корень $u(x)=0$ (см. ниже) или аппроксимировать поведение $y\sim 1/(x_0-x)$ и найти $x_0$.
- Интегрирование через линейную замену часто более устойчиво: решить систему первого порядка для $u$ и $v=u^{\prime }$:
$$u^{\prime }=v,v^{\prime }=x^{2}u,$$ численно (например, RK45). Затем восстановить $y=-v/u$. Это позволяет работать с линейной системой, которая обычно стабильнее и где нули $u$ легко детектировать (пересечение через ноль означает полюс для $y$).
- При приближении к полюсу стоит переключаться на методы с контролем событий (event detection) для точной локализации нуля $u$.
- Если требуется решение на большом интервале и присутствуют резкие изменения — рассмотреть неявные методы (BDF) для численной устойчивости.
Краткие практические советы
- Начните с оценки положения относительно линий $y=\pm x$ для понимания направления роста/убывания.
- Для точных вычислений предпочтительна сводящая подстановка $u$ + интегратор для линейной системы и последующий контроль нулей $u$.
- При простых быстрых приближениях (локальная картина) можно использовать RK45 с детектированием большого $|y|$ и остановкой при достижении порога.
Итог: разделение переменных неприменимо; полезна подстановка Риккати $y=-u^{\prime }/u$ дающая линейное $u^{\prime \prime }=x^{2}u$ (решения через спец. функции или численно); качественно траектории определяются линиями $y=\pm x$ и возможными полюсами (взрыв в конечной абсциссе), численная интеграция требует адаптивных шагов и/или интегрирования связанной линейной системы.