Кратко об ошибках и корректные доказательства.
1) Ошибки в неправильном решении
- Подстановка $x=0$ в $\frac{\sin x}{x}$ даёт $\frac{0}{0}$ — неопределённость; из этого нельзя делать вывод о значении предела.
- Применение правила Лопиталя напрямую: пишут ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{(\sin x{)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}={\lim }_{x\to 0}\cos x=1$. Это часто циклично: обычное доказательство того, что $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ в точке $0$ использует именно предел ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$. То есть лемма Лопиталя здесь может использовать производную $\sin$, получение которой опирается на тот же предел — круговая аргументация. Правомерно применять Лопиталя только если производные существуют и получены независимо от рассматриваемого предела.
2) Корректные доказательства
A) Геометрическое (не использует производные)
Для $0<x<\frac{\pi }{2}$ на единичной окружности справедливы неравенства
$\sin x<x<\tan x$.
Разделим на $\sin x>0$:
$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}.$$ Взяв обратные и заметив, что при $x\to 0$ $\cos x\to 1$, получаем
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1,0<x<\frac{\pi }{2}.$$ Переходя к пределу при $x\to 0^{+}$ и используя, что $\cos x\to 1$, по теореме о сжатой по́следовательности:
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$ Для $x\to 0^{-}$ заметим, что $\frac{\sin x}{x}$ — чётная функция, поэтому предел тот же, и, следовательно,
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$
B) Ряд Тейлора (если ряд для $\sin$ уже обоснован)
Если известно, что
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)(x\to 0),$$ то
$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 1(x\to 0).$$
C) Применение Лопиталя корректно при независимом определении производной
Если производная $(\sin x{)}^{\prime }$ установлена без использования предела $\frac{\sin x}{x}$ (например, через ряд или через решение дифференциального уравнения для геометрически заданной функции), то можно применить Лопиталя:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1.$$ Однако нужно явно указать, что существование и значение $(\sin x{)}^{\prime }$ не выводились ранее с помощью этого же предела, чтобы избежать круговой логики.
Вывод: правильное значение предела $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.