Рассмотрим параметр $a\in \mathbb{R}$ и функцию
$$I(a)={\int }_0^1{x}^{a}dx.$$
1) Значение интеграла и область определения:
- Для $a\ne -1$ вычисляем явно:
$$I(a)={\left[\frac{x^{a+1}}{a+1}\right]}_0^1=\frac{1}{a+1},$$ при этом при $x\to 0^{+}$ вклад конечен лишь если $a>-1$. Следовательно интеграл конечен тогда и только тогда, когда $a>-1$. Для $a\le -1$ интеграл расходится.
2) Дифференцируемость и взятие производной под знаком интеграла:
- Формально ${\partial }_a{x}^a=x^a\ln x$. Для $a>-1$ проверим интегрируемость производной:
$${\int }_0^1|x^a\ln x|dx={\int }_0^1{x}^a(-\ln x)dx=\frac{1}{(a+1{)}^2}<\infty (a>-1).$$ - Более общо: для любого компактного отрезка $K\subset (-1,\infty )$ пусть $a_{\min }=\min K>-1$. Тогда для всех $a\in K$ имеем
$$|x^a\ln x|\le x^{a_{\min }}|\ln x|$$ и правая часть интегрируема на $[0,1]$. Следовательно по теореме о преобладающем сходстве (или теореме Лебега об обмене предела и интеграла) можно дифференцировать под знаком интеграла для всех $a>-1$.
- Получаем производную:
$$I^{\prime }(a)={\int }_0^1{x}^a\ln xdx.$$ Подставляя явное выражение $I(a)=1/(a+1)$ получаем
$$I^{\prime }(a)=-\frac{1}{(a+1{)}^2}\text{для}a>-1,$$ что совпадает с интегральным выражением (см. выше).
3) Высшие производные и регулярность:
Аналогично показывается, что для $k\ge 1$ $$I^{(k)}(a)={\int }_0^1{x}^a(\ln x{)}^{k}dx$$ существуют и конечны для всех $a>-1$; значит $I\in C^{\infty }((-1,\infty ))$.
Выводы кратко:
- $I(a)$ конечен и равен $\frac{1}{a+1}$ только при $a>-1$.
- Для $a>-1$ допустимо дифференцировать под знаком интеграла и $I^{\prime }(a)={\int }_0^1{x}^a\ln xdx=-\frac{1}{(a+1{)}^2}$.
- При $a\le -1$ интеграл расходится, поэтому о дифференцируемости в этих точках речь не идет.