Теорема (Пифагора): для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ выполняется
$$c^2=a^2+b^2.$$
Ниже — несколько доказательств разного типа и краткое сравнение их применимости.
1) Геометрическое (перестановочное, «Бхаскара»). Построить квадрат со стороной $a+b$, внутри разместить четыре равных прямоугольных треугольника катетами $a,b$ так, чтобы в центре получился малый квадрат со стороной $c$. Сравнивая площади:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+c^2⟹a^2+2ab+b^2=2ab+c^2⟹c^2=a^2+b^2.$$ Плюс: наглядно, просто для школьного уровня. Минус: чисто плоская конструкция, не даёт лёгкого обобщения на абстрактные пространства.
2) Геометрическое (через подобие при опущенной высоте). Пусть высота на гипотенузу делит её на отрезки $p,q$ ($p+q=c$). Тогда из подобия треугольников:
$$a^2=cp,b^2=cq.$$ Сложив:
$$a^2+b^2=c(p+q)=c^2.$$ Плюс: даёт дополнительные соотношения (проекции катетов), полезно в синтетической геометрии. Минус: требует понятия подобия.
3) Алгебраическое (через координаты — аналитическое). Поместим прямой угол в начало: вершины $(0,0),(a,0),(0,b)$. Тогда расстояние между $(a,0)$ и $(0,b)$:
$$c=\sqrt{(a-0{)}^2+(0-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}⟹c^2=a^2+b^2.$$ Плюс: быстро, очевидно, удобно при вычислениях и в задачах с координатами. Минус: требует системы координат и понятия евклидовой метрики.
4) Линейно-алгебраическое (скалярное произведение). Пусть векторы вдоль катетов $u,v$ ортогональны: $⟨u,v⟩=0$. Тогда
$$\Vert u+v{\Vert }^2=⟨u+v,u+v⟩=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2.$$ Для длины гипотенузы $c=\Vert u+v\Vert$ даёт $c^2=a^2+b^2$. Плюс: естественно обобщается на любые внутренне-продуктные (Гильбертовы) пространства и на многомерные случаи. Минус: требует знания скалярного произведения.
5) Комплексный/числовой подход. Рассмотреть комплексное число $z=a+ib$. Модуль
$$|z{|}^2=z\overline{z}=a^2+b^2,$$ а модуль $a+ib$ геометрически — расстояние между концами векторов, что даёт теорему. Плюс: удобно при задачах с поворотами и комплексными преобразованиями.
Краткое сравнение — когда что предпочтительно:
- Для наглядной иллюстрации и обучения — перестановочное (Бхаскара).
- В чистой планиметрии и для вывода дополнительных отношений (проекции, отношение отрезков) — доказательство через высоту/подобие (Евклид).
- Для численных вычислений, задач на координатах, аналитической геометрии — координатный подход.
- Для обобщений на многомерные и абстрактные пространства, теории операторов, функционального анализа — через скалярное произведение/векторы.
- Для задач с поворотами/комплексными преобразованиями — комплексный метод.
Выбор метода зависит от целей: наглядность и простота (школьный уровень) — перестановка; строгая геометрическая информация — подобие; вычисления и обобщения — аналитика/линейная алгебра.