Способы упрощения:
- Факторизация и сокращение: $x^2-1=(x-1)(x+1)$, значит для $x\ne 1$ $$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$ - Деление многочленов: частное при делении $x^2-1$ на $x-1$ равно $x+1$, остатков нет, даёт тот же результат для $x\ne 1$.
- Предел (анализ поведения в точке): $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$, что показывает устранимый разрыв в $x=1$.
Проблемы при $x=1$:
- В исходном выражении при $x=1$ знаменатель равен нулю, поэтому выражение не определено: $\frac{x^2-1}{x-1}$ не имеет значения в $x=1$.
- После сокращения формула $x+1$ даёт значение $2$ в $x=1$, но это значение соответствует продолжению (удалённому) исходной дроби — исходная функция и $x+1$ совпадают на всех $x\ne 1$, но не в точке $x=1$, если не определить её дополнительно.
- Итог: выражение равно $x+1$ при $x\ne 1$; в $x=1$ исходное выражение не определено, а $x+1$ равно $2$.
Понятие тождественного равенства функций:
- Две функции $f$ и $g$ тождественно равны, если их области определения совпадают и для любого $x$ из этой области $f(x)=g(x)$.
- Если области определения различаются, говорят, что функции совпадают на пересечении областей или равны всюду при одинаковых областях; важно различать равенство формул и равенство функций как отображений.
- Пример здесь: как формулы (алгебраических дробей) $\frac{x^2-1}{x-1}$ и $x+1$ равны после сокращения в поле рациональных дробей, но как функции $\frac{x^2-1}{x-1}$ и $x+1$ на $\mathbb{R}$ не тождественно равны, потому что первая не определена в $x=1$, а вторая — определена. Чтобы сделать их тождественно равными, нужно определить значение первой в $x=1$ равным $2$ (удалённое продолжение).