Кратко: если ставка имеет отрицательное математическое ожидание, любая ненулевая систематическая ставка повышает риск полного проигрыша; оптимальная «управляющая» стратегия — не играть. Ниже — формулировки, объяснения и границы применимости законов больших чисел.
Модели капитала
- Аддитивная модель (фиксированная ставка/чистая прибыль за раунд):
$$S_n=S_0+\sum _{i=1}^n{X}_i,$$ где $X_i$ — независимые выигрыши с $E[X_i]=\mu <0$.
- Мультипликативная (доля капитала в игре):
$$W_n=W_0\prod _{i=1}^n{Y}_i,Y_i=1+f_i{X}_i$$ или в лог-форме $\ln W_n=\ln W_0+{\sum }_{i=1}^n\ln Y_i$.
Основные математические выводы
1. Отрицательный средний приращений (аддитивно):
По сильному закону больших чисел (SLLN), если $X_i$ — i.i.d. и $E[|X_i|]<\infty$, то
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{\text{a.s.}}{}\mu <0,$$ значит ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\to -\infty$ и $S_n\to -\infty$ — т.е. аддитивно капитал уходит в минус (при абсорбирующем барьере «0» это обычно означает вероятное вымирание).
2. Отрицательный ожидаемый лог‑рост (мультипликативно):
если $E[\ln Y_i]=g<0$ и независимы, то по SLLN
$$\frac{1}{n}\ln W_n\stackrel{\text{a.s.}}{}g<0,$$ значит $W_n\to 0$ почти наверное — гарантированное асимптотическое обнижение.
3. Простая цепная модель (биноминальная игра, шаги $\pm 1$). Пусть шаг вправо с верот. $p$, влево $q=1-p$. Вероятность проиграть (достичь 0) до достижения уровня $N$, стартуя с $k$:
$$P_k=\frac{(q/p{)}^k-(q/p{)}^N}{1-(q/p{)}^N}(p\ne q).$$ При $q>p$ (отрицательный дрейф) и $N\to \infty$ получаем $P_k=1$ — вымирание почти наверняка. При $p>q$ вероятность выживания положительна: $P_k=(q/p{)}^k$.
4. Kelly и оптимальные доли: оптимальная доля $f^{\star }$ максимизирует $E[\ln (1+fX)]$. Если для всех допустимых $f$ выполнено $E[\ln (1+fX)]<0$, то оптимум — $f^{\star }=0$ (не играть).
Стратегии управления капиталом (минимизация риска полного проигрыша)
- Лучшее в общем виде: не играть (ставка $=0$). Это минимизирует вероятность достижения нуля до любого горизонта.
- Если играть обязательно или фиксированное число раундов:
- Делайте минимально допустимые ставки, уменьшайте долю капитала в игре; чем меньше величина ставки, тем меньше относительный дрейф и дисперсия, следовательно ниже шанс «быстрого» падения до 0.
- Избегайте левереджа и «всё или ничего» (bold play) при отрицательном EV — крупные одиночные ставки увеличивают риск уничтожения капитала.
- Если есть выбор между разными ставками с одинаковым отрицательным EV, выбирайте ставку с меньшим дисперсионным риском (меньшей дисперсией/вероятностью полного обнуления в одном раунде).
- Про «оптимальные» правила: при отрицательном EV никакая пронумерованная адаптивная стратегия (в допустимом классе без внешней прибыли) не даст снижения вероятности вымирания ниже нуля в сравнении с отказом от игры; формально капитал является супермартингейлом, и Doob'овские оценки/optional stopping не дают выигрышной стратегии.
- Если цель — максимизировать вероятность достижения некоторого конечного целевого уровня до банкротства и EV<0, то «bold play» иногда может повысить шанс достижения цели за счёт риска — но суммарно это не устраняет отрицательного ожидания; классическая теория (минимакс) показывает, что при отрицательном дрейфе вероятность добраться до бесконечного уровня равна 0.
Границы применимости законов больших чисел и замечания
- SLLN/CLT требуют ограниченности моментов: SLLN обычно требует $E[|X_i|]<\infty$ (или слабее — одинаковая интегрируемость/эргодичность для зависимых серий). Если средний не существует (бесконечный или сильно тяжёлые хвосты), классический SLLN не применим; могут потребоваться стабильные законы и нормировки $n^{1/\alpha }$.
- Независимость не всегда обязательна: эргодические/стационарные процессы позволяют применять эргодические теоремы; для сильных зависимостей (долгая память) поведение суммы может кардинально отличаться.
- Для мультипликативных процессов требуется конечность $E[|\ln Y_i|]$. Если $E[\ln Y_i]$ не существует, лог‑SLLN неприменим, и возможны случайные экспоненциальные скачки.
- Вывод «почти наверняка обнуление» требует бесконечного горизонта. На конечном горизонте вероятность выживания может быть значительной, поэтому управление капиталом обычно ориентируется на горизонты и допустимый рисковый уровень.
Резюме практических выводов
- При систематическом отрицательном математическом ожидании минимальная вероятность полного проигрыша достигается, если не ставить вообще.
- Если игра неизбежна — ставьте малые дробные доли, избегайте левереджа и одиночных крупных рисков; выбирайте низковариационные исходы.
- Теоремы больших чисел дают асимптотическое поведение при строгих предпосылках (конечные моменты, независимость/эргодичность); при их нарушении поведение капитала может быть нестандартным.