Краткие критерии выбора метода (вписанная и описанная окружности).
1) Когда предпочитать синтетику
- Задача про углы, вписанные/опорные углы, подобие треугольников, касательные и гомотетии.
- Если ожидаются стандартные леммы (теорема о касательной и хорде, теорема Чевы в углах, свойства касательных треугольника вписанной/описывающей окружностей).
- Когда хочется минимизировать вычисления и получить «человеческое» элегантное решение.
Признак: решение сводится к цепочке равенств углов или очевидным подобиям.
2) Когда лучше векторный подход
- Нужно доказать коллинеарность/конкуренцию или линейные отношения между положением точек; полезно, если точки удобно выражаются как выпуклые комбинации вершин.
- Удобно для формул центров: например, для инцентра $I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$.
- Хорошо сочетается с скалярным/векторным произведением для равенств углов и расстояний в координатах.
Признак: задачи о центрах, делителях отрезков, проверках линейной зависимости точек.
3) Когда использовать координаты (аналитическая геометрия)
- Нужны явные численные длины, уравнения окружностей или пересечения хорд/касательных, либо решение сводится к алгебраическим уравнениям.
- Удобно выбрать систему (например, поставить описанную окружность центром в $(0,0)$ или сопоставить стороны осям) чтобы упростить уравнения: окружность $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$.
- Полезно, если готовы к вычислениям и/или можно использовать CAS для громоздкой алгебры.
Признак: задача ведёт к системе уравнений или к проверке равенства выражений через квадраты расстояний.
4) Практическая схема выбора
- Если первичный анализ показывает «чистую» угловую/гомотетическую структуру → синтетика.
- Если нужно показать коллинеарность/бифуркации с весами вершин или задействованы центры треугольника → векторы/барицентрические представления.
- Если требуется точный числовой ответ, доказательство через длины или пересечения хорд → координаты.
- Если алгебра тяжела, попробуйте сначала синтетический упрощающий шаг (лемма/гомотетия/инверсия), затем аналитический метод.
5) Комбинация методов
- Часто оптимально: синтетический анализ (интуиция + ключевые леммы) → фиксирование выгодной системы координат или векторной модели для окончательных вычислений.
Используйте эти критерии как правило принятия решения, учитывая сложность вычислений и наличие стандартных геометрических лемм.