Классический признак Лейбница: если $a_n=(-1{)}^n{b}_n$ с $b_n\ge 0$, $b_n$ монотонно невозрастающая и ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$, то ряд $\sum a_n$ сходится.
Если же модулі $|a_n|=b_n$ не монотонны, то ситуация такова:
- Достаточные ослабления монотонности: достаточно, чтобы $b_n\to 0$ и $b_n$ была монотонна начиная с некоторого номера (т. е. «в конечном счёте» монотонна). Ещё достаточное условие — ограниченная вариация: если ${\sum }_{n=1}^{\infty }|b_{n+1}-b_n|<\infty$, то ряд $\sum (-1{)}^n{b}_n$ сходится (это вытекает из суммирования Абеля).
- Альтернативные критерии: если последовательность частичных сумм множителей (знаков) ограничена и множитель $b_n$ монотонно стремится к нулю, применим тест Дирихле/Абеля и получаем сходимость.
Важно: только условие $b_n\to 0$ недостаточно — монотонность действительно нужна (или её корректная замена). Приведу контрпример, показывающий, как можно ввести себя в заблуждение, если забыть про монотонность.
Пример (ряд с чередующимися знаками, $b_n\to 0$, но ряд расходится). Пусть для $k\ge 1$ $$b_{2k-1}=\frac{1}{k},b_{2k}=\frac{1}{\sqrt{k}},$$ и $a_n=(-1{)}^n{b}_n$. Тогда
$$a_{2k-1}+a_{2k}=-\frac{1}{k}+\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{k}\sim \frac{1}{\sqrt{k}}.$$ Следовательно суммирование по парам даёт
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{k=1}^{\infty }(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{k}),$$ а сумма ${\sum }_{k}1/\sqrt{k}$ расходится, значит исходный ряд расходится. При этом $\lim b_n=0$, но $b_n$ не монотонна; явное применение «только» условия $\lim b_n=0$ как формальной версии признака Лейбница привело бы к ошибочному выводу о сходимости.
Короткий вывод: для чередующихся рядов монотонность модулей (или её корректная замена: конечная монотонность, ограниченная вариация, или применение тестов Абеля/Дирихле) — существенное требование; простое $b_n\to 0$ может быть недостаточно.