Корень уравнения — значение переменной, при котором выражение равно нулю, т.е. для функции $f(x)$ корень ищем из $f(x)=0$.
Пример 1 (алгебраически, квадратное уравнение):
Решим $x^2-3x+2=0.$ Разложим на множители:
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,$$ отсюда корни $x=1$ или $x=2.$ Проверка: $1^2-3\cdot 1+2=0,2^2-3\cdot 2+2=0.$
Общий вид и формула:
Для $a{x}^2+bx+c=0$ корни даёт дискриминант $D=b^2-4ac$ и
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$$
Пример 2 (численно, метод Ньютона):
Найдём корень уравнения $f(x)=\cos x-x=0$ методом Ньютона:
Итерационная формула $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)},$ где $f^{\prime }(x)=-\sin x-1.$ Возьмём $x_0=1.$ $$f(1)=\cos 1-1\approx -0.4596976941,f^{\prime }(1)=-\sin 1-1\approx -1.8414709848,$$ $$x_1=1-\frac{-0.4596976941}{-1.8414709848}\approx \mathrm{0.7503638679.}$$ Вторая итерация:
$$f(x_1)\approx -0.018675,f^{\prime }(x_1)\approx -1.68164,$$ $$x_2\approx 0.739264(\text{уже близко к точному}0.739085\dots ).$$ Проверяем подстановкой: $\cos (0.739085\dots )-0.739085\dots \approx 0.$
Выбор метода:
- Если уравнение алгебраически разлагается (многочлен, рациональные функции) — решайте аналитически (раскладывание, формулы).
- Если аналитически нельзя — используйте численные методы (Ньютона, бисекции, секущую) и проверяйте сходимость.