Разложим по областям: внутренний модуль даёт
для $x\ge -2$ — $||x+2|+2x|=|3x+2|$,
для $x<-2$ — $||x+2|+2x|=|x-2|=2-x$.
1) $x\ge -2$. Решаем $|3x+2|=bx$.
- Если $3x+2\ge 0$ (т.е. $x\ge -2/3$), то $3x+2=bx\Rightarrow x=-\frac{2}{3-b}$ (нельзя $b=3$). Это корень допустим при условии $x\ge -2/3$, что эквивалентно $b\le 0$ или $b>3$.
- Если $3x+2<0$ (т.е. $-2\le x<-2/3$), то $-3x-2=bx\Rightarrow x=\frac{2}{3+b}$ (нельзя $b=-3$). Из требований получаем $b\in [-4,-3)$.
Итого из $x\ge -2$ получаем корни:
$x=-\frac{2}{3-b}$ при $b\le 0$ или $b>3$;
$x=\frac{2}{3+b}$ при $b\in [-4,-3)$.
2) $x<-2$. Решаем $2-x=bx\Rightarrow x=\frac{2}{b+1}$ (нельзя $b=-1$). Требование $x<-2$ даёт $b\in (-2,-1)$. (Для этих $b$ дополнительно $b$ отрицательно, что согласуется с правой частью.)
Подсчёт числа решений в зависимости от $b$:
- $b\in (-\infty ,-4)$: 1 решение.
- $b=-4$: 2 решения.
- $b\in (-4,-3)$: 2 решения.
- $b=-3$: 1 решение.
- $b\in (-3,-2]$: 1 решение.
- $b\in (-2,-1)$: 2 решения.
- $b=-1$: 1 решение.
- $b\in (-1,0]$: 1 решение.
- $b\in (0,3]$: 0 решений.
- $b>3$: 1 решение.
Кратко: количество решений $N(b)$ $$N(b)=\{\begin{array}{ll}2,& b\in [-4,-3)\cup (-2,-1),\\ 0,& b\in (0,3],\\ 1,& \text{в остальных}b.\end{array}$$