Кратко: пусть $a_1,\dots ,a_n>0$. Обозначим
$\mathrm{AM}=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$, $\mathrm{GM}=(a_1\cdots a_n{)}^{1/n}$.
Ниже — несколько доказательств и комментарии к ним.
1) Индукция (метод «удвоения» для степеней двойки, затем обобщение).
- База $n=2$: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ (очевидно, т.к. $(a-b{)}^2\ge 0$).
- Шаг: пусть неравенство верно для $n$. Для $2n$ разбиваем числа на $n$ пар и положим $b_i=\frac{a_{2i-1}+a_{2i}}{2}$. Тогда
$$\frac{a_1+\cdots +a_{2n}}{2n}=\frac{b_1+\cdots +b_n}{n}\ge (b_1\cdots b_n{)}^{1/n}\ge (\sqrt{a_1{a}_2}\cdots \sqrt{a_{2n-1}{a}_{2n}}{)}^{1/n}=(a_1\cdots a_{2n}{)}^{1/(2n)}.$$ Значит справедливо для $2n$. Для общего $n$ берут $m=2^k\ge n$, дополняют список $m-n$ копиями среднего $\mathrm{AM}$ (или рассматривают предельный переход), применяют случай $m$ и получают утверждение для $n$.
- Педагогика: конструктивный, не требует анализа; хорош для постепенного развития техник индукции и рекурсивных приёмов. Минус — небольшая техническая часть при переходе от степеней двойки к произвольному $n$.
2) Метод функции (Дженсен — выпуклость/вогнутость).
- Функция $\ln x$ вогнута на $(0,\infty )$, поэтому по неравенству Дженсена
$$\ln \left(\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right)\ge \frac{\ln a_1+\cdots +\ln a_n}{n}.$$ Возведя в экспоненту, получаем $\mathrm{AM}\ge \mathrm{GM}$.
- Педагогика: очень элегантно и коротко; вводит идеи вогнутости/выпуклости и связь с логарифмом. Требует знания анализа (Дженсена) — хорош для старших классов/университета.
3) Метод выравнивания (smoothing / «усреднение пар»).
- Если $x\ne y$, то замена пары $(x,y)$ на $(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2})$ сохраняет сумму, а произведение не убывает:
$$(\frac{x+y}{2}{)}^2-xy=\frac{(x-y{)}^2}{4}\ge 0.$$ Повторяя такую операцию для любых неравных элементов, получаем набор одинаковых чисел (равных исходному AM), при этом произведение не убывает; следовательно исходный GM не превосходит AM.
- Педагогика: очень интуитивен, хорош для понимания, почему максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равных множителях; полезен на олимпиадах и в задачах оптимизации.
4) Метод упорядочивания / неравенство Рёлье-Карамата (кратко).
- Факт: вектор всех чисел, равномерно распределённых (все равны), majorizes любой другой вектор с той же суммой; т.к. функция $-\ln x$ выпукла, по неравенству Караматa
$$\sum _i\ln a_i\le n\ln \left(\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right),$$ что дает AM$\ge$GM. (Это более абстрактная форма, связывающая неравенство с теорией мажоризации.)
- Педагогика: демонстрирует связь с более общей теорией (majorization, симметричные функции); полезно для продвинутых курсов, но технически требовательно.
Краткое сравнение педагогической ценности:
- Индукция: понятна и конструктивна, хороша для начинающих, но требует небольших технических ухищрений.
- Jensen: самый короткий и «чистый», вводит ключевые аналити-ческие идеи; лучше после изучения выпуклости.
- Выравнивание: интуитивно и наглядно, полезно для освоения приёмов оптимизации и олимпиад.
- Карамата/упорядочивание: даёт глубокое обобщение и формальную систему, но требует предшествующей теории.
Все эти доказательства приводят к одному и тому же выводу: для любых положительных $a_1,\dots ,a_n$ $$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge (a_1\cdots a_n{)}^{1/n},$$ с равенством именно при $a_1=\cdots =a_n$.