Нужно уточнить, какой «интеграл» имеется в виду. Ответ разный для Римана и Лебега.
1) Римановский интеграл. Для ограниченной функции на $[0,1]$ выполняется критерий Лебега: функция римановски интегрируема тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру Лебега ноль. Следовательно утверждение «если ${\int }_0^{1}f(x)dx$ (Римана) существует, то $f$ непрерывна почти везде» — верно. Пример: функция Томы (Thomae)
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1/q,& x=p/q\text{в несократимой форме},\\ 0,& x\notin \mathbb{Q},\end{array}$$ имеет римановский интеграл, разрывна на множестве рациональных (мера ноль), непрерывна на иррациональных.
2) Лебеговский интеграл. Утверждение ложно. Контрпримеры:
- Дирихлева функция (индикатор рационалов):
$$f(x)=1_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}(x).$$ Рационалы имеют меру ноль, поэтому ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$ (Лебег). Но $f$ разрывна в каждой точке: в любой окрестности есть и рационалы, и иррационалы, предел не существует. Значит функция интегрируема (Лебег) и разрывна на множестве полной меры (в данном случае — на всем отрезке).
- Индикатор «жирного» канторова множества. Существует замкнутое канторово множество $C\subset [0,1]$ с положительной мерой (fat Cantor set). Тогда
$$f(x)=1_C(x)$$ ле-беговски интегрируема (интеграл равен $\mu (C)>0$), но множество точек разрыва содержит границу $C$, а для такого множества граница равна самому $C$, то есть имеет положительную меру; значит $f$ разрывна на множестве положительной меры.
Вывод: если под «существует интеграл» понимается римановский интеграл для ограниченной функции, то утверждение верно; если понимается лебеговский интеграл (или просто «существует ${\int }_0^{1}f$» без оговорки), утверждение неверно — приведены простые контрпримеры.