Утверждение неверно.
Контрпример: взять подпоследовательность
$$a_k=\frac{k+1}{k},k\in \mathbb{N}.$$ Каждое $a_k$ имеет вид $m/n$ с натуральными $m,n$, и $a_k\to 1$ при $k\to \infty$. Значит существует бесконечная подпоследовательность последовательности дробей $m/n$, все предельные точки которой — рациональны (в данном случае единственная предельная точка — $1$). Поэтому не всякая бесконечная подпоследовательность обязательно содержит подпоследовательность, сходящуюся к иррациональному числу.
Типичные ошибки в подобных «доказательствах»:
- путаница между плотностью множества рациональных чисел в $\mathbb{R}$ (для любого иррационала существует последовательность рационалов, сходящаяся к нему) и требованием, что любая данная бесконечная подпоследовательность должна иметь именно иррациональную точку накопления;
- применение теоремы Больцано–Вейерштрасса без проверки ограниченности: из бесконечности не следует наличие сходящихся подпоследовательностей, если последовательность неограниченна.
Верные формулировки, близкие по смыслу:
- для любого иррационала $\alpha$ существует последовательность рационалов $\frac{m_k}{n_k}$ с $\frac{m_k}{n_k}\to \alpha$;
- любая ограниченная бесконечная последовательность вещественных чисел (в том числе рационалов) содержит сходящуюся подпоследовательность, причём её предел может быть рациональным или иррациональным.