Кратко — оба способа эквивалентны, но требуют аккуратности при выборе верхней/нижней функции и при разбиении области.
1) Интегрирование «по x» (вертикальные срезы). Верхняя кривая на $[0,1]$ — $y=x$, нижняя — $y=x^3$. Площадь
$$A={\int }_0^1(x-x^3)dx.$$ Сделав первообразную получаем
$$A={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.$$
2) Метод Ньютона–Лейбница через разность первообразных — это именно то же вычисление: для функции $f(x)=x-x^3$ берём первообразную $F(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}$ и считаем $F(1)-F(0)=\frac{1}{4}$. То есть никаких теоретических различий: интеграл вычисляется через первообразную.
Возможные ошибки при разбиении областей и в численных схемах:
- Неправильный порядок $\text{верхняя}-\text{нижняя}$. Если поменять местами, получите отрицательное значение: площадь должна быть $\int (\max -\min )dx$.
- Игнорирование точек пересечения. В общем случае надо разбивать интеграл по точкам, где $f=g$ и брать модуль разности: $A=\int (|f-g|)dx$. В нашем примере пересечения на оси $x$ даются решением $x^3=x\Rightarrow x\in \{0,\pm 1\}$, на отрезке $[0,1]$ — только концы, поэтому разбиение не требуется.
- Ошибки в нахождении первообразной (алгебраические ошибки) приведут к неверному результату.
- При численном интегрировании (разбиение на прямоугольники/трапеции/Симпсон) — погрешность связана с шагом разбиения и особенностями метода; если функции меняют порядок в интервале, нужно предварительно разрезать по точкам пересечения, иначе численная схема даст ориентировочно маленькое или отрицательное значение.
- При использовании горизонтальных сечений (интегрирование по $y$) нужно правильно инвертировать функции: $x=y^{1/3}$ и $x=y$ на $y\in [0,1]$; интеграл по $y$ даст тот же результат.
Итого: оба подхода дают $A=\frac{1}{4}$. Главное — правильно определить верхнюю и нижнюю функции и при наличии внутренних точек пересечения разбивать интеграл на соответствующие подинтервалы.