Ответ:
- Точное выражение (включения‑исключения):
$$P_n=\frac{D_n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!},$$ где $D_n$ — число дерэнжментов.
- Асимптотика при $n\to \infty$. Поскольку ряд Тейлора для $e^{-1}$ равен ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!}$, имеем
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!}=e^{-1}.$$ Таким образом $P_n\to \frac{1}{e}$.
- Оценка погрешности (остатка ряда). Остаток равен
$$R_n=e^{-1}-P_n=\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!},$$ и по геометрической оценке модуль остатка удовлетворяет, например,
$$|R_n|\le \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}}<\frac{2}{(n+1)!}(n\ge 1).$$ Отсюда $P_n=e^{-1}+O(1/(n+1)!)$.
- Альтернативное пояснение (приближение Пуассона): число неподвижных точек в случайной перестановке имеет матожидание $1$ и сходится по распределению к $\mathrm{Poisson}(1)$, поэтому вероятность нуля стремится к $e^{-1}$.
(Все используемые приближения: метод включений‑исключений и усечение ряда Тейлора для $e^{-1}$; при большом $n$ также можно применять приближение распределения Пуассона.)