Исправленное точное определение (эпсилон–дельта):
Пусть $a$ — предельная точка множества, в котором определена функция $f$. Тогда
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$ тогда и только тогда, когда
$$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon ).$$ Пояснение: квантор $\exists \delta$ стоит после $\forall \epsilon$, то есть для каждого заданного $\epsilon >0$ можно выбрать (возможно зависящее от $\epsilon$) число $\delta >0$, но это $\delta$ не должно зависеть от $x$.
Негативная формулировка (как доказать отсутствие предела):
$$\neg (\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L)⟺\exists {\epsilon }_0>0\forall \delta >0\exists x(0<|x-a|<\delta \wedge |f(x)-L|\ge {\epsilon }_0).$$
Какие ошибки возникают при неправильной формулировке
- Пропуск кванторов (неясно, для каких $\epsilon ,\delta ,x$ утверждение): может привести к тому, что $\delta$ ошибочно считают зависящим от $x$. Правильно: $\delta$ может зависеть от $\epsilon$, но не от конкретного $x$.
- Поменять порядок кванторов: например, утверждение
$$\exists \delta >0\forall \epsilon >0\forall x(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )$$ эквивалентно требованию $|f(x)-L|=0$ для всех $x$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$, т.е. сильнее чем предел — это равенство функции и значения предела на окрестности. Это лишает смысла многие корректные пределы (например, для $f(x)=x$ при $a=0$ такое требование ложно).
- Отсутствие условия $0<|x-a|$ (включение $x=a$) заставит требовать значение функции в точке $a$ совпадало с пределом, тогда как предел может существовать при том, что $f(a)$ не определено или отличается от $L$.
- Неточность в порядке кванторов часто ведёт к неверным обобщениям при доказательствах (например, попытка взять одно фиксированное $\delta$ для всех $\epsilon$ или допустить зависимость $\delta$ от $x$).
Практическое правило: при доказательстве предела явно указывайте зависимость $\delta (\epsilon )$ или используйте формулировку с кванторами; при опровержении пользуйтесь приведённой отрицательной формулой.