Функция: $f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$.
1) Пути-примеры.
- По прямой $y=kx$: $$f(x,kx)=\frac{x^2\cdot kx}{x^4+k^2{x}^2}=\frac{kx}{x^2+k^2}\to 0(x\to 0).$$ - По параболе $y=m{x}^2$: $$f(x,m{x}^2)=\frac{x^2\cdot m{x}^2}{x^4+m^2{x}^4}=\frac{m}{1+m^2},$$ то есть предел равен $\frac{m}{1+m^2}$ и зависит от параметра $m$. Для разных $m$ получаем разные значения (максимум $\frac{1}{2}$ при $m=1$, минимум $-\frac{1}{2}$ при $m=-1$).
Из этого следует, что общий предел в точке $(0,0)$ не существует (путь-зависимость).
2) Доп. наблюдения и методы.
- Оценка по модулю: $(x^2-|y|{)}^2\ge 0\Rightarrow x^4+y^2\ge 2|x^{2}y|$, отсюда $|f(x,y)|\le \frac{1}{2}$ (функция ограничена).
- Полярные: при $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ получаем $$f=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }.$$ Для фиксированного $\theta$ с $\sin \theta \ne 0$ при $r\to 0$ знаменатель стремится к ${\sin }^2\theta$ и $f\to 0$. Это согласуется с тем, что радиальные (фиксированный угол) пределы дают 0, но не охватывает кривые, где угол зависит от $r$ (например $y=m{x}^2$), которые дают другие пределы.
Вывод: общий предел ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ не существует; метод поиска разных пределов по разным путям (например $y=kx$ и $y=m{x}^2$) показателен.