Решения уравнения $x^2-2y^2=1$ образуют бесконечную группу (единицы в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$). Есть тривиальное решение $(\pm 1,0)$. Невырожденное минимальное положительное решение для правой части $+1$ равно $(3,2)$, а фундаментальная единица кольца — $\epsilon =1+\sqrt{2}$ (ее норма $-1$): ${\epsilon }^2=3+2\sqrt{2}$.
Общая структура всех целочисленных решений:
$$x+y\sqrt{2}=\pm (3+2\sqrt{2}{)}^n=\pm (1+\sqrt{2}{)}^{2n},n\in \mathbb{Z}.$$ Для решений с $x>0$ достаточно взять $n\ge 0$:
$$x_n+y_n\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2}{)}^n.$$
Явные формулы:
$$x_n=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^n+(3-2\sqrt{2}{)}^n}{2},y_n=\frac{(3+2\sqrt{2}{)}^n-(3-2\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}.$$
Рекуррентный способ генерации (полезно для итераций):
$$x_{n+1}=3x_n+4y_n,y_{n+1}=2x_n+3y_n,$$ с началом $x_0=1,y_0=0$ (или $x_1=3,y_1=2$).
Первые нетривиальные решения: $(3,2),(17,12),(99,70),\dots$ (со знаком ± одновременно для $x$ и $y$). Эти формулы следуют из того, что все единицы в $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ имеют вид $\pm {\epsilon }^k$, и у $\epsilon$ норма $-1$, так что для нормы $+1$ берутся четные степени.