По признаку делимости на $4$ достаточно смотреть последние одну или две цифры числа. Для двухзначного окончания $10x+y\equiv 2x+y(\mathrm{mod}4)$, значит $y\equiv -2x(\mathrm{mod}4)$. Из этого: если десяток $x$ чётный, то единица $y\in \{0,4,8\}$; если $x$ нечётный, то $y\in \{2,6\}$.
Число $9876543210$ с индексами: $(1:9,2:8,3:7,4:6,5:5,6:4,7:3,8:2,9:1,10:0)$.
1) Однозначные оставшиеся числа, делящиеся на $4$: цифры $8,4,0$ (позиции $2,6,10$) — всего $3$.
2) Двузначные (и более) окончания. Для пары позиций $j<k$ с нужной парой цифр любое подмножество позиций $1,\dots ,j-1$ можно оставить или зачеркнуть (чтобы последние две цифры были именно $j,k$), значит вклад каждой такой пары равен $2^{j-1}$. Подсчёт пар даёт для каждого $j$ числа $m_j$ пар справа: $m=(2,2,2,2,1,1,1,1,0)$ для $j=1,\dots ,9$. Тогда количество таких чисел
$$\sum _{j=1}^9{m}_j{2}^{j-1}=2\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 4+2\cdot 8+1\cdot 16+1\cdot 32+1\cdot 64+1\cdot 128+0\cdot 256=270.$$
Итоговое количество различных получаемых чисел, делящихся на $4$:
$$270+3=273.$$