Рассмотрим $\frac{x^2-1}{x-1}$.
Факторизация: $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$. Сокращение $(x-1)$ допустимо только при $x\ne 1$, поэтому для $x\ne 1$ выражение равно $x+1$.
При $x=1$ исходное выражение не определено (деление на ноль). Его предел при $x\to 1$ равен
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2.$$ Следовательно в точке $x=1$ есть устранимая разрывность: можно корректно продолжить функцию, присвоив значению в этой точке $2$. То есть непрерывное продолжение задаётся как
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1,\\ 2,& x=1.\end{array}$$
Кратко: сокращать можно только при $x\ne 1$; исходное выражение в $x=1$ не задано, но его предел равен $2$, и при желании можно определить значение в этой точке как $2$.