Коротко: предпочтение зависит от структуры системы. Критерии выбора и пояснения:
Критерии
- Простота явного выражения переменной: если одна из уравнений даёт явно одну переменную (или легко разрешается относительно неё) — метод подстановки почти всегда предпочтителен.
- Полиномиальная/алгебраическая структура и требование всех корней: элементарное алгебраическое исключение (результанты, метод Грёбнера) удобны для полиномов, когда нужно получить все (включая комплексные) решения.
- Геометрическая интерпретация полезна для понимания числа и расположения решений, для оценки начального приближения и доказательства существования/количества решений (пересечения кривых/поверхностей).
- Трансцендентные уравнения, высокая размерность, сильная нелинейность или когда нужен только численный приближённый корень — численные методы (многомерный метод Ньютона, метод Ньютона с редукцией, метод продолжения/гомотопии, глобальные оптимизационные методы) — предпочтительны.
- Устойчивость и кратность корней: при кратных/малоприятных корнях численные методы требуют осторожности (модифицированный Ньютон, гомотопия).
- Требование точности/символьного выражения: если нужен аналитический ответ — попытать подстановку/исключение/Грёбнер; если достаточна аппроксимация — численные.
Примеры
1) Удобна подстановка (простой случай). Рассмотрим
$$\{\begin{array}{l}y=x^2,\\ x^2+y^2=1.\end{array}$$ Подставляем $y=x^2$ и получаем одно уравнение в $x$:
$$x^2+x^4=1\Rightarrow t=x^2:t^2+t-1=0,$$ $$t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}>0,x=\pm \sqrt{t},y=t.$$ Здесь подстановка даёт полный аналитический ответ — наилучший выбор.
2) Алгебраическое исключение / Грёбнер (когда одно уравнение не явно): для полиномиальной системы
$$\{\begin{array}{l}{x}^3+y^3-1=0,\\ x^{2}y-x{y}^2+2=0,\end{array}$$ подстановка не ведёт к простому ручному решению; применяют результатант или базис Грёбнера для устранения одной переменной и получения полинома в одной переменной, затем корни — и восстановление остальных. Это даёт все комплексные корни, но сложнее вычислительно.
3) Численные методы (транцендентные / высокоразмерные): рассмотрим
$$\{\begin{array}{l}{e}^x+y=3,\\ \sin y+x=0.\end{array}$$ Аналитического решения в элементарных функциях вряд ли получить. Задача решается численно, например, методом Ньютона для вектор-функции $F(x,y)$:
$$F(x,y)=\left(\begin{array}{c}{e}^x+y-3\\ \sin y+x\end{array}\right),J(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x& 1\\ 1& \cos y\end{array}\right),$$ итерация
$$\left(\begin{array}{c}{x}_{k+1}\\ y_{k+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)-J(x_k,y_k{)}^{-1}F(x_k,y_k).$$ Геометрически можно предварительно оценить место пересечения (для начального приближения). Если множество неизвестных велико или нужны все решения — предпочитают численные методы продолжения/гомотопии.
Резюме (практическое правило)
- Если одна переменная явно выражается — подстановка.
- Если полиномиальная система и нужен полный набор корней — результатанты/Грёбнер.
- Если повседневная задача с трансцендентными функциями, высокая размерность или требуется численный ответ — численные методы (Ньютон, гомотопия).
- Геометрия — как вспомогательный инструмент для понимания числа решений и для выбора начальных приближений.