Коротко — основная ошибка: деление на $x$ выполняется без проверки, что $x\ne 0$. В результате теряется решение $x=0$. Подробно и с пояснениями:
1) Правильное решение (вещественные/комплексные числа):
$$x^2=x$$ Переносим в одну сторону:
$$x^2-x=0$$ Факторизуем:
$$x(x-1)=0$$ По свойству нулевого произведения для чисел $x=0$ или $x-1=0$, т.е. решения $\{0,1\}$.
2) Почему деление неверно: если из $x^2=x$ поделить на $x$ без оговорки, то это требует $x\ne 0$. При таком допущении получим $x=1$, но потеряем случай $x=0$. Правильный ход — либо факторизация, либо рассматривать два случая: $x=0$ и $x\ne 0$ (в последнем можно делить и получить $x=1$).
3) Дополнительные замечания о домене определения:
- Отмена множителя (деление на $x$) корректна в полях и интегральных областях при условии $x\ne 0$.
- В общих кольцах с делителями нуля (например, ${\mathbb{Z}}_6$) свойство «если $ab=0$, то $a=0$ или $b=0$» не выполняется, поэтому и факторизация не даёт простого вывода о корнях. Пример в ${\mathbb{Z}}_6$: уравнение $x^2=x$ имеет дополнительные решения (например, $x=3,4$), так что нужно учитывать структуру множества, где решаете уравнение.
- Для матриц уравнение $A^2=A$ (идемпотенты) имеет множество решений помимо $0$ и $I$ (проекции).
4) Как избежать ошибки:
- Никогда не делите на выражение, которое может быть нулём, не проверив предварительно этот случай.
- Предпочтительнее: привести к произведению равному нулю и применить нулевое произведение (в подходящем домене), либо явно рассмотреть случай(ы) $x=0$ и $x\ne 0$.
- Учитывайте структуру множества (числа, кольцо, матрицы и т.д.) — в кольцах с делителями нуля нужна дополнительная проверка.
Итог: при решении над числами правильный набор решений $\{0,1\}$; ошибка деления на $x$ — потеря решения $x=0$ (и возможные дополнительные проблемы вне поля/интегральной области).