Утверждение верно для действительных чисел: любая ограниченная монотонная последовательность в $\mathbb{R}$ имеет предел. Дам краткое строгое доказательство и перечислю альтернативные подходы и контрпримеры при ослаблении условий.
Доказательство (через наибольшую границу). Пусть $(a_n)$ — монотонно неубывающая и ограниченная сверху последовательность в $\mathbb{R}$. Тогда множество $\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$ непусто и ограничено сверху, поэтому по аксиоме полноты $\mathbb{R}$ существует $L=\sup \{a_n\}$. Покажем, что $a_n\to L$. Для любого $\epsilon >0$ по определению супремума существует индекс $N$ такой, что
$$a_N>L-\epsilon .$$ Поскольку последовательность неубывающая, для всех $n\ge N$ выполняется $a_n\ge a_N$, и вместе с тем $a_n\le L$. Следовательно для всех $n\ge N$ $$0\le L-a_n\le L-a_N<\epsilon ,$$ то есть $|a_n-L|<\epsilon$. Значит $a_n\to L$. Для монотонно невозрастающей последовательности доказывают аналогично через $\inf$.
Альтернативные подходы
- Через теорему Больцано—Вейерштрасса: любая ограниченная последовательность в $\mathbb{R}$ имеет сходящуюся подпоследовательность. Если исходная последовательность монотонна, то любая сходящаяся подпоследовательность имеет предел, которому должна стремиться вся последовательность (монотонность исключает «колебания» между разными пределами), поэтому сходится вся последовательность.
- Через критерий Коши + полноту: из аргумента с супремумом легко показать, что монотонная ограниченная последовательность — последовательность Коши; в полном пространстве (в $\mathbb{R}$) каждая последовательность Коши сходится.
- Теоретико-аксиомно: свойство «каждая ограниченная монотонная последовательность сходится» эквивалентно аксиоме полноты (свойству наибольшей границы) для упорядоченного поля.
Контрпримеры при ослаблении условий
- Если убрать монотонность (только ограниченность): не обязательно сходится. Пример: $a_n=(-1{)}^n$ — ограниченная, но не имеет предела.
- Если убрать ограниченность (только монотонность): может расходиться к бесконечности. Пример: $a_n=n$ монотонно возрастает, но не имеет конечного предела ($a_n\to +\infty$).
- Если рассматривать не $\mathbb{R}$, а $\mathbb{Q}$: полноты нет, поэтому существует монотонная ограниченная последовательность в $\mathbb{Q}$, не имеющая предела в $\mathbb{Q}$. Пример: рациональные приближения снизу к $\sqrt{2}$ (т. е. последовательность рационалов $q_n$ с $q_n<\sqrt{2}$, $q_n\nearrow \sqrt{2}$); в $\mathbb{Q}$ предел отсутствует, в $\mathbb{R}$ предел равен $\sqrt{2}$.
- В более общих упорядоченных полях или метрических пространствах отсутствие аксиомы полноты даёт аналогичные контрпримеры.
Краткий итог: в $\mathbb{R}$ утверждение истинно (доказательство через $\sup /\inf$ — стандартное). При ослаблении условий (нет монотонности, нет ограниченности, или пространство неполно) утверждение перестаёт быть верным.