Коротко: при стандартной интерпретации (на отрезке [0,1] случайно выбирают две внутренние точки, в результате получаются три отрезка) искомая вероятность равна $\frac{1}{4}$.
Модель вероятности: два независимых равномерных на $[0,1]$ числа $U,V$. Пусть $X=\min (U,V),Y=\max (U,V)$. Тогда три длины отрезков равны $a=X,b=Y-X,c=1-Y$. Треугольник можно составить тогда и только тогда, когда каждая из этих величин меньше $\frac{1}{2}$ (эквивалентно — максимальная часть < $\frac{1}{2}$).
Два способа вычисления.
1) Геометрический (на единичном квадрате). Пара $(U,V)$ равномерна на квадрате $[0,1{]}^2$. Упорядоченная область $0<X<Y<1$ — треугольник площади $\frac{1}{2}$; плотность упорядоченной пары равна $2$ на этом треугольнике. Условия $a<\frac{1}{2},b<\frac{1}{2},c<\frac{1}{2}$ дают
$$\{(X,Y):Y>\frac{1}{2},X<\frac{1}{2},X>Y-\frac{1}{2}\}.$$ Площадь этой области равна
$${\int }_{y=1/2}^1(\frac{1}{2}-(y-\frac{1}{2}))dy={\int }_{1/2}^1(1-y)dy=\frac{1}{8}.$$ Умножая на плотность $2$ получаем вероятность $2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$.
2) Через распределение разностей (симплекс). Три положительные части $a,b,c$ удовлетворяют $a+b+c=1$ — это равномерное распределение на треугольнике (симплексе) площади $\frac{1}{2}$. Область, где все три < $\frac{1}{2}$, имеет площадь $\frac{1}{8}$. Поэтому вероятность равна $\frac{(1/8)}{(1/2)}=\frac{1}{4}$.
Дополнение: вероятность, что НЕ получится треугольник (то есть какая‑то часть $\ge \frac{1}{2}$), равна $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
Если вы действительно имели в виду выбор трёх точек (внутри отрезка) и получение четырёх частей — уточните, какой именно вопрос: требуют ли, чтобы три из частей составили треугольник, или что-то другое; в этом случае модель и ответ отличаются.