Сходимость. Ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ удовлетворяет признаку Лейбница: знакопеременные члены $a_n=\frac{1}{n}$ монотонно убывают к нулю, поэтому ряд сходится. Оценка остатка: если $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма до $n$-го члена, то
$$|S-S_n|\le a_{n+1}=\frac{1}{n+1}.$$
Значение суммы. Разложением в ряд Тейлора для логарифма при $x=1$ получаем
$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}\text{при}-1<x\le 1,$$ откуда при $x=1$ $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2.$$
Абсолютная сходимость и перестановки. Сумма модулей равна гармоническому ряду:
∑n=1∞∣(−1)n+1n∣=∑n=1∞1n=∞, \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty,
n=1∑∞ n(−1)n+1 =n=1∑∞ n1 =∞, то есть ряд условно (не абсолютно) сходится. По теореме Римана для условно сходящихся рядов: перестановкой членов можно получить сумму, равную любому заданному числу $S\in \mathbb{R}$, либо сделать ряд расходящимся (к $+\infty$ или $-\infty$). Механизм: суммы положительных членов и по модулю отрицательных членов обе расходятся, поэтому, прибавляя достаточно положительных членов, можно превысить любую цель, затем добавить отрицательных, чтобы опуститься ниже и т.д., добиваясь сходимости к требуемому значению.
Замечания: конечная перестановка (перемещение конечного числа членов) не меняет сумму; инвариантность при всех перестановках эквивалентна абсолютной сходимости, которой здесь нет.