Коротко — какие есть методы, формулы и их особенности.
1) Прямой аналитический (теорема косинусов)
- Построение третьей стороны: $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }$.
- Площадь (через стороны): можно затем взять Герона: $p=\frac{a+b+c}{2}$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
- Применимость/точность: простой и однозначный; однако при малых или близких к $\pi$ углах вычитание больших близких чисел приводит к потере точности (катастрофическое вычитание).
2) Прямой формулой площади (наилучший для площади при известном включённом угле)
- $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$.
- Преимущество: не требует вычисления $c$, численно стабильна при умеренных $\gamma$. При очень малых $\gamma$ значение малое, но относительная погрешность зависит от точности измерения $\gamma$.
3) Геометрическое построение (линер/циркуль)
- Построить отрезок длины $a$, в его конце начертить угол $\gamma$, от отрезка луча отложить длину $b$ — полученная точка даёт третий конец, расстояние до первого конца = $c$.
- Применимость: точное в классической геометрии; на практике ограничено точностью инструментов (погрешности отложений и измерения угла).
4) Координатный/векторный метод (численное построение)
- Поставить точки, например $A=(0,0)$, $B=(a,0)$; третью точку $C$ на луче из $A$ под углом $\gamma$: $C=(b\cos \gamma ,b\sin \gamma )$. Тогда $c=|B-C|=\sqrt{(a-b\cos \gamma {)}^2+(b\sin \gamma {)}^2}$ (эквивалент косинусу). Площадь $S=\frac{1}{2}|AB\times AC|=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$.
- Преимущество: гибко для численного анализа, легко контролировать ошибки; можно использовать устойчивые численные приёмы.
5) Численная устойчивость — рекомендации
- Избегать прямого вычитания близких по модулю чисел. Для малого $\gamma$ полезно переписать подкоренное выражение через полуугол: $1-\cos \gamma =2{\sin }^2(\gamma /2)$, тогда
$c=\sqrt{(a-b{)}^2+4ab{\sin }^2(\gamma /2)}$, что обычно стабильнее.
- Для вычисления площади используйте $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ — это наиболее прямой и стабильный способ при известном включённом угле.
- Геронова формула может быть неустойчивой, если треугольник почти вырожден (сумма двух сторон близка к третьей): в таких случаях лучше считать $S$ через $\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ или использовать численно устойчивые реализации Герона (где предварительно упорядочивают стороны и применяют дробление вычислений).
6) Чувствительность к погрешностям измерений
- Приближённая линейная чувствительность $c$ к изменениям:
$dc\approx \frac{a-b\cos \gamma }{c}da+\frac{b-a\cos \gamma }{c}db+\frac{ab\sin \gamma }{c}d\gamma .$
- Из этого видно: при малом $\gamma$ терм $ab\sin \gamma /c$ мал — $c$ менее чувствителен к ошибке угла, но более чувствителен к ошибкам в $a,b$ из‑за вычитаний в законе косинусов.
Вывод: для вычисления $c$ и площади лучше сначала пользоваться аналитическими формулами (косинусов и $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$), при этом при малых/крайних углах применять алгебраические перестановки (полуугловые формулы) или координатный подход для повышения численной устойчивости; для реального чертежа — циркуль и линейка (точность ограничена инструментом).