Краткий вывод: в алгебраических тождествах (сумма, разность, двойной угол, Пифагора и т. п.) разницы нет при условии согласованного преобразования единиц; в анализе (производные, интегралы, разложения в ряд, малые углы, пределы) радианы — естественная единица: формулы принимают простую форму только в радианах. Далее — пояснения и примеры.
Преобразование градусов ↔ радианы:
$x_{\text{rad}}=\frac{\pi }{180}{x}_{\mathrm{deg}}$, $x_{\mathrm{deg}}=\frac{180}{\pi }{x}_{\text{rad}}$.
Тождества (алгебраические). Если под «sin», «cos» понимать функцию от числового аргумента (в радианах), то класcические тождества:
$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$,
${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$,
$\sin 2x=2\sin x\cos x$,
и т. п. — верны. Если углы заданы в градусах, то надо перед применением тождества выполнить перевод: ${\sin }^{\circ }A:=\sin \left(\frac{\pi }{180}A\right)$. Тогда, например,
${\sin }^{\circ }(A+B)=\sin (\frac{\pi }{180}(A+B))={\sin }^{\circ }A{\cos }^{\circ }B+{\cos }^{\circ }A{\sin }^{\circ }B$,
то есть структура тождеств сохраняется, но внутри функций стоит множитель $\frac{\pi }{180}$.
Производные. Здесь важна единица измерения, потому что производная определяется через предел. Для аргумента в радианах:
$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ (x в радианах).
Если переменная $t$ даёт угол в градусах (т. е. ${\sin }^{\circ }t=\sin (\frac{\pi }{180}t)$), то по правилу цепочки:
$\frac{d}{dt}{\sin }^{\circ }t=\frac{\pi }{180}\cos \left(\frac{\pi }{180}t\right)=\frac{\pi }{180}{\cos }^{\circ }t$,
$\frac{d}{dt}{\cos }^{\circ }t=-\frac{\pi }{180}{\sin }^{\circ }t$.
Таким образом при работе в градусах появляется множитель $\frac{\pi }{180}$. В общем, если $y=\sin (kx)$ и $k$ — число в радианах на единицу $x$, то $y^{\prime }=k\cos (kx)$.
Интегралы. Аналогично:
$\int \sin xdx=-\cos x+C$ (x в радианах).
Если интегрируем по градусам $t$:
$\int {\sin }^{\circ }tdt=\int \sin \left(\frac{\pi }{180}t\right)dt=-\frac{180}{\pi }\cos \left(\frac{\pi }{180}t\right)+C.$
Ряды и малые углы. Разложение в степенной ряд для синуса в радианах:
$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$ В градусах $t$ это становится ${\sin }^{\circ }t=\sin \left(\frac{\pi }{180}t\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{(\frac{\pi }{180}t{)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ — коэффициенты выглядят громоздко. Малое-угловое приближение: в радианах $\sin x\approx x$ при $x\to 0$; в градусах ${\sin }^{\circ }t\approx \frac{\pi }{180}t$.
Пределы. Ключевой предел:
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ верен при $x$ в радианах. Для градусов:
$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{\circ }t}{t}=\frac{\pi }{180}.$
Практические рекомендации:
- В вычислительном и теоретическом анализе (производные, интегралы, ряды, пределы) всегда работать в радианах — тогда формулы просты и естественны.
- Для измерений, навигации и практических задач удобнее градусы, но при арифметических/аналитических преобразованиях не забывать множитель $\frac{\pi }{180}$.
Если нужно, могу показать конкретные выводы производной и интеграла из определения (пределы) или примеры с числовыми вычислениями.