Формулировка. Для положительных чисел $a_1,\dots ,a_n>0$ справедливо неравенство
$$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge (a_1\cdots a_n{)}^{1/n},$$ с равенством тогда и только тогда, когда $a_1=\cdots =a_n$.
Доказательства разного уровня
1) Простейшее для двух чисел (алгебраическое). Для $a,b>0$ $$0\le (\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=a+b-2\sqrt{ab},$$ откуда
$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$ Равенство при $a=b$. Для общего $n$ можно последовательно применять это к парам или использовать индукцию (см. пункт 2).
2) Индукция / удвоение (комбинаторное). Для степени двойки: если AM$\ge$GM верно для $n$ чисел, то для $2n$ чисел $a_1,\dots ,a_{2n}$ применим неравенство к каждой паре $(a_i,a_{i+n})$, получим AM для каждой пары не меньше её GM, затем снова AM$\ge$GM к полученным средним; это даёт утверждение для $2n$. База $n=1,2$ очевидна. Для произвольного $n$ можно дополнить последовательность копиями среднего геометрического или использовать аппроксимацию числа $n$ степенью двойки; равенство требует равенства на каждом шаге, т.е. все элементы равны.
3) Классическое через выпуклость (Jensen). Функция $\ln x$ выпукла вниз (сильнее: вогнута), значит по неравенству Дженсена
$$\ln \left(\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right)\ge \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln a_i=\ln ((a_1\cdots a_n{)}^{1/n}).$$ Экспоненцируя, получаем AM$\ge$GM. Равенство при совпадении аргументов, т.е. при $a_1=\cdots =a_n$.
4) Метод множителей Лагранжа (оптимизационный). При фиксированном продукте $P=a_1\cdots a_n$ рассмотрим минимум суммы $S=\sum a_i$ при ограничении $\sum \ln a_i=\ln P$. Лагранжиан
$$\mathcal{L}=\sum _{i=1}^n{a}_i-\lambda (\sum _{i=1}^n\ln a_i-\ln P).$$ Условие стационарности $\partial \mathcal{L}/\partial a_i=0$ даёт $1-\lambda /a_i=0$, значит все $a_i=\lambda$ одинаковы. Тогда минимальная сумма $S_{\min }=n\lambda$ и из ${\lambda }^n=P$ получаем $\lambda =P^{1/n}$, т.е.
$$\sum a_i\ge n{P}^{1/n}\Rightarrow \frac{\sum a_i}{n}\ge P^{1/n}.$$ Равенство при всех $a_i$ равных.
5) Через неравенство Гёльдера/Коши (коротко). Из неравенства Коши в форме $(\sum x_i)(\sum \frac{1}{x_i})\ge n^2$ для $x_i=\sqrt{a_i}$ можно получать связанные выводы; стандартнее применять неравенство между средними (RMS$\ge$AM$\ge$GM), где RMS$\ge$AM следует из квадрата разностей, а AM$\ge$GM — как частное случая цепочки средних. (Детали зависят от выбранной формы Коши.)
О случае равенства. Во всех приведённых доказательствах равенство достигается тогда и только тогда, когда все члены $a_1,\dots ,a_n$ равны между собой. Это следует из условий равенства в квадрате для двух чисел, из шага индукции (все равны на каждом шаге), из условий равенства в неравенстве Дженсена (все аргументы равны) и из уравнений станции Лагранжа (все $a_i=\lambda$).