Теорема. Точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении $(2:1)$, считая от вершины к середине противоположной стороны.
Доказательство (векторы, кратко). Пусть вершины треугольника заданы векторами $A,B,C$. Средняя точка стороны $BC$ равна
$$M=\frac{B+C}{2}.$$ Точка пересечения медиан обозначим $G$. Так как $G$ лежит на медиане $AM$, можно записать
$$G=A+t(M-A)=A+t(\frac{B+C}{2}-A).$$ Аналогично, поскольку $G$ лежит на медиане $BN$ (где $N$ — середина $AC$),
$$G=B+s(\frac{A+C}{2}-B).$$ Равенство этих выражений даёт систему, решение которой даёт $t=s=\frac{2}{3}$ и
$$G=\frac{A+B+C}{3}.$$ Из $G=A+\frac{2}{3}(M-A)$ следует, что отрезок $AG$ составляет $\frac{2}{3}$ всей медианы $AM$, а $GM=\frac{1}{3}AM$. То есть отношение равно $(2:1)$.
Короткое доказательство массами. Положим в вершинах равные массы $1$. Центр масс системы точек $A,B,C$ находится в
$$G=\frac{A+B+C}{3}.$$ Математически это тот же результат; на медиане от $A$ к середине $M$ суммарная масса точек $B$ и $C$ равна $2$, поэтому центр масс делит $AM$ в отношении $2:1$ от $A$ к $M$.
Геометрические интерпретации и свойства (кратко):
- Центроид — центр масс при равных массах в вершинах; если треугольник вырезать из однородного материала, он уравновешивается на игле, воткнутой в точку $G$.
- Барицентрические координаты центра — $(1:1:1)$; это объясняет равную «вкладность» каждой вершины.
- Центроид совпадает с точкой, где медианы пересекаются; под действием аффинных преобразований он переводится в центр масс образа (аффинная инвариантность).
- Центроид минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин (точка Ферма в квадратичном смысле).
Вывод: точка пересечения медиан есть $G=\frac{A+B+C}{3}$ и делит каждую медиану в отношении $(2:1)$ от вершины к середине противоположной стороны.