Решение.
Разобьём числовую прямую по нулям выражений в модулях: точки $x=-2$ и $x=1$. Получаем три области.
1) $x\le -2$. Тогда $x-1\le -3<0$, $x+2\le 0$, поэтому
$$|x-1|=1-x,|x+2|=-x-2.$$ Уравнение даёт $(1-x)+(-x-2)=-2x-1=5$, откуда $x=-3$. Принадлежность проверена: $-3\le -2$.
2) $-2\le x\le 1$. Тут $x+2\ge 0$, $x-1\le 0$, поэтому
$$|x-1|=1-x,|x+2|=x+2,$$ и сумма равна $1-x+x+2=3$. Получаем $3=5$ — решений нет в этой области.
3) $x\ge 1$. Тогда оба выражения неотрицательны:
$$|x-1|=x-1,|x+2|=x+2,$$ и уравнение даёт $(x-1)+(x+2)=2x+1=5$, откуда $x=2$. Принадлежность проверена: $2\ge 1$.
Итого решения: $x=-3$ и $x=2$.
Почему метод универсален. Модуль определяется как
$$|u|=\{\begin{array}{ll}u,& u\ge 0,\\ -u,& u<0.\end{array}$$ При нескольких модульных выражениях достаточно разбить ось по точкам, где каждое выражение меняет знак (корни подмодульных выражений). На каждой полученной области знак каждого подмодуля постоянен, поэтому модули превращаются в обычные линейные (или полиномиальные) выражения, и уравнение упрощается. Число областей конечное (не более $2^n$ для $n$ модулей), поэтому метод всегда приводит к конечной системе обычных уравнений; в конце нужно проверить границы областей. Это делает метод универсальным и систематическим.