Предел равен $-\frac{1}{6}$.
Способы и сравнение.
1) Разложение в ряд (самый простой)
- Из ряда Маклорена $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ при $x\to 0$.
- Тогда $\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}+o(1)$, значит ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$.
- Простота: очень высокая; надёжность: высокая, если допускается использование степенных рядов.
2) Правило Лопиталя (систематично)
- Номер неопределённости $0/0$. Делим по Лопиталю три раза:
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\sin x}{6x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}.$$ - Простота: средняя (требуется три дифференцирования); надёжность: высокая (формально обосновано при условиях Лопиталя).
3) Теорема Тейлора с формулой остатка (строго с оценкой)
- По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа существует $\xi$ между $0$ и $x$ такой, что
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{\sin \xi }{24}{x}^4.$$ - Делим на $x^3$: $\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}+\frac{\sin \xi }{24}x$. При $x\to 0$ второе слагаемое $\to 0$, следовательно предел $-\frac{1}{6}$.
- Простота: средняя; надёжность: очень высокая (даёт оценку остатка).
4) Через отношение $\sin x/x$ - $\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-x/\sin x}{x^2}$ или проще: $\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x^2}$. Из известного разложения $\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$ получаем предел $-\frac{1}{6}$.
- Простота: высокая; надёжность: высокая при знании предела $\sin x/x$ и его расширения.
Итог: самый быстрый — ряд или использование $\sin x/x$; наиболее формально строгий с контролем ошибки — Тейлор с остатком; Лопиталя удобно, если не хочется рядов (нужно три дифференцирования). Все три дают $-\frac{1}{6}$.