Коротко: независимость событий как неусловное свойство ( $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ) не зависит от сигма-алгебры. Зато условная независимость относительно заданной сигма-алгебры $\mathcal{G}$ (определяемая как $P(A\cap B\mid \mathcal{G})=P(A\mid \mathcal{G})P(B\mid \mathcal{G})$ a.s.) сильно зависит от $\mathcal{G}$. Приведу конкретный пример на бросании двух одинаковых честных костей.
Исходная модель:
$\Omega =\{(i,j):i,j\in \{1,\dots ,6\}\}$, $P$ равномерно: $P(\{\omega \})=1/36$.
Определим события
- $A=\{\text{первая кость чётная}\}=\{(2,),(4,),(6,)\}$, $P(A)=1/2$;
- $B=\{\text{вторая кость чётная}\}$, $P(B)=1/2$;
- $C=\{\text{сумма чётна}\}$, $P(C)=1/2$.
1) Независимость без условий:
$$P(A\cap B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4},P(A)P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4},$$ следовательно $A$ и $B$ независимы (это свойство пространства, не зависящее от выбора сигма-алгебры).
2) Условная независимость относительно разных сигма-алгебр.
a) Тривиальная сигма-алгебра ${\mathcal{G}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$. Тогда
$$P(\cdot \mid {\mathcal{G}}_0)=P(\cdot ),$$ и условная независимость относительно ${\mathcal{G}}_0$ эквивалентна обычной: $A$ и $B$ условно независимы (поскольку они независимы без условий).
b) Сигма-алгебра ${\mathcal{G}}_C=\sigma (C)$ (информация о том, чётна ли сумма). Посчитаем условные вероятности на множестве $C$:
внутри $C$ есть ровно $18$ исходов, из них $9$ — обе кости чётные. Значит
$$P(A\cap B\mid C)=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},P(A\mid C)=\frac{9}{18}=\frac{1}{2},P(B\mid C)=\frac{1}{2}.$$ Отсюда
$$P(A\cap B\mid C)=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\mid C)P(B\mid C),$$ то есть $A$ и $B$ НЕ условно независимы относительно ${\mathcal{G}}_C$. Интуитивно: знание чётности суммы связывает чётности первой и второй кости.
c) Сигма-алгебра ${\mathcal{G}}_{\text{first}}=\sigma (\text{значение первой кости})$. При условии на конкретное значение первой кости $i$ вторая остаётся равновероятной. Тогда для почти всех $\omega$ $$P(B\mid {\mathcal{G}}_{\text{first}})=\frac{1}{2},P(A\mid {\mathcal{G}}_{\text{first}})=1_{\{i\text{чётно}\}},$$ и
$$P(A\cap B\mid {\mathcal{G}}_{\text{first}})=1_{\{i\text{чётно}\}}\cdot \frac{1}{2}=P(A\mid {\mathcal{G}}_{\text{first}})P(B\mid {\mathcal{G}}_{\text{first}}).$$ Значит $A$ и $B$ условно независимы относительно ${\mathcal{G}}_{\text{first}}$.
d) Полная сигма-алгебра $\mathcal{F}=2^{\Omega }$. Тогда
$$P(A\mid \mathcal{F})=1_A,P(B\mid \mathcal{F})=1_B,P(A\cap B\mid \mathcal{F})=1_{A\cap B},$$ и точное тождество $1_{A\cap B}=1_A{1}_B$ делает условную независимость относительно $\mathcal{F}$ истинной (почти всюду).
Выводы (сжато):
- Независимость в обычном смысле — свойство событий в данном вероятностном пространстве, не зависящее от выбранной сигма-алгебры.
- Условная независимость (относительно $\mathcal{G}$) зависит от $\mathcal{G}$: для наших $A,B$ она может быть истинной (${\mathcal{G}}_0,{\mathcal{G}}_{\text{first}},\mathcal{F}$) или ложной (${\mathcal{G}}_C$).
- Образец: знание только чётности суммы связывает события, тогда как знание точного значения первой кости «разрывает» связь.