Коротко и по делу.
1) Простой способ — критерий рационального корня (Rational Root Theorem). Для многочлена с целыми коэффициентами любая рациональная невырожденная корень $\frac{p}{q}$ (в несводимой форме) имеет $p\mid$ свободный член и $q\mid$ старший коэффициент. Для $$f(x)=x^3+x+1$$ свободный член $1$ и старший коэффициент $1$, значит возможные рациональные корни $\pm 1$. Проверяем: $$f(1)=1+1+1=3\ne 0,f(-1)=-1-1+1=-1\ne 0.$$ Следовательно рациональных корней нет.
2) Альтернативно (и сильнее) — редукция по модулю и лемма Гаусса. $f\in \mathbb{Z}[x]$ примитивен; если при редукции по простому $p$ образ $\bar{f}\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ неприводим той же степени, то $f$ неприводим над $\mathbb{Q}$. Для $p=2$ имеем $\bar{f}(x)=x^3+x+1\in {\mathbb{F}}_2[x]$. В ${\mathbb{F}}_2$ проверяем значения: $\bar{f}(0)=1,\bar{f}(1)=1$, значит у $\bar{f}$ нет линейного множителя; для куба отсутствие линейного множителя эквивалентно неприводимости в ${\mathbb{F}}_2[x]$. Значит $\bar{f}$ неприводим, следовательно $f$ неприводим над $\mathbb{Q}$, и, в частности, уравнение $x^3+x+1=0$ не имеет рациональных корней.
Примечание: критерий Эйзенштейна здесь неприменим (свободный член $1$ не делится ни на одно простое), но упомянутые методы достаточно.