Краткое правило выбора:
- Полярные удобны при радиальной или угловой симметрии, при кривых вида $r=f(\theta )$ и при областях, задаваемых кругами или лучами.
- Декартовы удобны при прямолинейных границах, функциях вида $y=f(x)$, при задачах с осями симметрии и при алгебраических уравнениях в $x,y$.
Конкретные примеры и пояснения.
Когда переходить в полярные:
- Интегралы на круговой области или с $x^2+y^2$: например
$${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^R{e}^{-r^2}rdrd\theta .$$ - Область, заданная окружностью со смещённым центром, удобно описать после смещения или в полярах: для $x^2+y^2=2ax$ получаем
$$r^2=2ar\cos \theta \Rightarrow r=2a\cos \theta ,$$ а площадь вычисляется как $A=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$.
- Дифференциальные уравнения с радиальной симметрией (напр., уравнение Лапласа в диске) сводятся в полярных к ODE по $r$ и Фурье по $\theta$.
Когда оставаться в декартовых:
- Области, ограниченные вертикальными/горизонтальными линиями или графиками $y=f(x)$: площадь под параболой $y=a{x}^2$ на $[x_1,x_2]$ $$A={\int }_{x_1}^{x_2}a{x}^{2}dx$$ проще в декартовых.
- Задачи оптимизации с линейными ограничениями (прямоугольники, трапеции), нахождение касательных к кривым $y=f(x)$ (дифференцирование по $x$).
- Алгебраические коники, если они выровнены по осям (эллипс $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, парабола $y=a{x}^2+bx+c$) — удобнее в $x,y$.
Дополнение: иногда полезно сначала сдвинуть начало координат (например, в центр окружности), а затем перейти в полярные: комбинирование переводов и смены системы часто даёт максимальное упрощение.