Кратко — сравнение по сходимости и погрешностям для интеграла $I={\int }_0^{1}f(x)dx$ при разбиении с шагом $h=1/n$ (композитные правила).
1) Формулы для гладких функций
- Метод трапеций (композитный): при $f\in C^2[0,1]$ существует $\xi \in (0,1)$ такое, что
$$E_T:=I-T_n=-\frac{1}{12}{h}^2{f}^{\prime \prime }(\xi ),$$ то есть $E_T=O(h^2)$.
- Метод Симпсона (композитный, n чётно): при $f\in C^4[0,1]$ существует $\xi \in (0,1)$ такое, что
$$E_S:=I-S_n=-\frac{1}{180}{h}^4{f}^{(4)}(\xi ),$$ то есть $E_S=O(h^4)$.
Вывод: при достаточно большой гладкости Симпсон даёт более быстрый спад ошибки ($h^4$ против $h^2$).
2) Что происходит при меньшей гладкости
- Если отсутствует вторая производная (нет $f^{\prime \prime }$ или она неограниченна), стандартная оценка для трапеций ломается; при условии $f^{\prime }$ имеет ограниченную вариацию обычно получают уменьшение порядка до $E_T=O(h)$. При скачках значений функции сходимость может вообще не происходить (ошибка $O(1)$).
- Если отсутствует четвёртая производная, Simpson не достигает $O(h^4)$; порядок ухудшается — в общем случае погрешность определяется наивысшим существующим конечным производным за счёт той же принципиальной зависимости от более высоких производных. На практике, при $f\in C^2$ порядок Симпсона часто понижается до порядка, сравнимого с $O(h^2)$ (зависит от характера «негладкости»).
3) Особые случаи
- Периодические и аналитические функции: для периодических гладких $f$ метод трапеций демонстрирует значительно лучшую сходимость (через формулу Эйлера—Маклорена многие члены ошибки аннулируются), для аналитических периодических функций — сверхалгебраическая/экспоненциальная сходимость. В таких случаях трапеций может быть предпочтительнее даже Симпсона.
- Локальные сингулярности (концы отрезка или разрыв производных внутри): равномерная сетка даёт падение порядка; полезны адаптивная сетка, выделение точек разрыва или замены переменной (грэйдированное разбиение).
4) Практические рекомендации
- Если $f\in C^4$ (гладко), используйте Симпсона — быстрее ($O(h^4)$).
- Если только $f\in C^2$ или функция периодическая — композитный трапеций прост и надёжен ($O(h^2)$, для периодических — ещё лучше).
- Если имеются разрывы или сингулярности — применяйте адаптивные схемы, локальные преобразования переменных или разбиение по особенностям функции.
Короткая сводка:
- гладкая ($C^4$): трапеций $O(h^2)$, Симпсон $O(h^4)$;
- менее гладкая (нет $f^{\prime \prime }$ или разрыв в производной): порядок снижается (трапеции могут стать $O(h)$); Симпсон тоже теряет $h^4$-поведение;
- периодичность/аналитичность: трапеции могут дать гораздо лучшую (даже экспоненциальную) сходимость.