Кратко: даётся единственное (с точностью до равенства и поворота) решение, если и только если заданные три числа $m_a,m_b,m_c>0$ могут быть сторонами некоторого треугольника. Построение можно выполнить через вычисление сторон по формулам, вытекающим из теоремы Апполония.
Детали и обоснование.
1) Необходимое условие. Медианы любого треугольника сами образуют треугольник, поэтому необходимо и достаточно, чтобы
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$
2) Выражения для сторон. Из формулы Апполония для медиан:
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},m_b^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4},m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.$$ Решая эту систему относит. $a^2,b^2,c^2$, получаем однозначно
$$a^2=\frac{4}{9}(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2),$$ и аналогично
$$b^2=\frac{4}{9}(2(m_c^2+m_a^2)-m_b^2),c^2=\frac{4}{9}(2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2).$$ Поэтому стороны вычисляются как
$$a=\frac{2}{3}\sqrt{2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2},\dots$$
3) Условия существования. Для существования требуются положительность подкоренных выражений (тогда и эти $a,b,c>0$) — эти условия эквивалентны возможности составить треугольник из $m_a,m_b,m_c$. Если они выполняются, то из пунктa 2 стороны определены однозначно.
4) Построение циркулем и линейкой.
- Проверьте треугольниковость $m_a,m_b,m_c$.
- Постройте отрезки длин $m_a,m_b,m_c$ и треугольник с этими сторонами (это возможно по условию).
- Вычислите геометрически длины $a,b,c$ по формулам из п.2 (все операции — сложение, умножение на число, извлечение квадратного корня — выполнимы циркулем и линейкой; стандартно строят отрезник длины $X+Y$, $kX$ для рационального $k$ и $\sqrt{X}$ через прямоугольный треуг. и теорему Пифагора).
- Постройте треугольник со сторонами $a,b,c$ (обычная конструкция по трём сторонам).
(Альтернативный чисто геометрический путь: построить треугольник, у которого стороны равны $m_a,m_b,m_c$ — это будет «треугольник медиан»; затем по известному однозначному соответствию и однократной гомотетии/сдвигу восстановить исходный треугольник; но практически удобнее применять формулы выше.)
5) Единственность. Поскольку из аполлониевых формул система даёт единственное значение для $a^2,b^2,c^2$, треугольник с найденными сторонами единственен с точностью до переноса и поворота (конгруэнтности). Если какие‑то выражения равны нулю или равенства в треугольниковых не выполняются — решения нет или оно вырождено.
Итог: построение возможно и единственно (с точностью до конгруэнтности) тогда и только тогда, когда $m_a,m_b,m_c$ сами образуют треугольник; стороны исходного треугольника вычисляются по формулам выше и затем строятся обычным способом.