Теорема (среднее значение интеграла). Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то существует точка $c\in (a,b)$ такая, что
$$f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$$
Доказательство. Непрерывная функция на компактном отрезке достигает минимум и максимум: положим
$$m=\underset{[a,b]}{\min }f,M=\underset{[a,b]}{\max }f.$$ Тогда для всех $x\in [a,b]$ имеем $m\le f(x)\le M$. Интегрируя по отрезку $[a,b]$ получаем
$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a),$$ откуда после деления на $(b-a)>0$ $$m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M.$$ Поскольку $f$ непрерывна на $[a,b]$, по теореме о промежуточных значениях она принимает любое значение между $m$ и $M$. Следовательно существует $c\in [a,b]$ с
$$f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$$ Замечание: так как равенство строгого минимума/максимума на концах возможно, обычно можно указать $c\in (a,b)$ (если требуется, можно показать, что существует внутренняя точка).
Примеры.
- $f(x)=x$ на $[0,1]$. Среднее значение $\frac{1}{1-0}{\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$, и действительно $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$.
- $f(x)=\sin x$ на $[0,\pi ]$. Среднее значение $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\frac{2}{\pi }$, и существует $c=\arcsin \frac{2}{\pi }\in (0,\pi )$ с $f(c)=\frac{2}{\pi }$.
Контрпример при отсутствии непрерывности. На $[0,1]$ возьмём
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le x<p,\\ 0,& p\le x\le 1,\end{array}$$ где $p\in (0,1)$. Тогда ${\int }_0^{1}f(x)dx=p$, среднее значение равно $p$, но $f$ принимает только значения $0$ и $1$, то есть нет точки $c$ с $f(c)=p$. Это показывает, что непрерывность (или по крайней мере свойство промежуточных значений) действительно нужна.