Подход и ограничения:
1) Факторизация разности квадратов: $(x-y)(x+y)=2017$.
2) Обозначим $u=x-y,v=x+y$. Тогда $uv=2017$ и одновременно $u$ и $v$ имеют одинаковую чётность (так как $u+v=2x$ — чётное). Общий способ: взять все пары целых делителей $u,v$ числа и положить
$$x=\frac{u+v}{2},y=\frac{v-u}{2}.$$
3) Так как $2017$ — простое нечётное, его делители (в целых) дают лишь пары $(u,v)=(1,2017),(2017,1),(-1,-2017),(-2017,-1)$. Все эти числа нечётны, значит парность условию удовлетворяется.
4) Решая для каждой пары, получаем
$$(x,y)=(1009,1008),(1009,-1008),(-1009,-1008),(-1009,1008),$$ то есть кратко $x=\pm 1009,y=\pm 1008$ (знаки выбираются независимо, так как учитываются квадраты).
Замечание: более общий критерий — целое $n$ представимо в виде разности квадратов тогда и только тогда, когда $n\not\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Для простого нечётного $p$ представление единственно с точностью до перестановки и знаков делителей, отсюда приведённые четыре целых решения.