Краткий разбор доказательства Евклида и альтернативные доказательства (с преимуществами и недостатками).
1) Доказательство Евклида (классическое)
- Суть: пусть перечислены простые $p_1,\dots ,p_n$. Рассмотрим число $N=p_1{p}_2\cdots p_n+1$. Ни одно из $p_i$ не делит $N$, значит либо $N$ само простое, либо у $N$ есть простой делитель, отличный от всех $p_i$. Противоречие с конечностью множества простых.
- Преимущества: полностью элементарно, коротко, конструктивно (показывает способ получить новое простое или новое простое делитель).
- Недостатки: не даёт информации о распределении простых (насколько часто они появляются, оценок роста); иногда встречается ошибочное утверждение, что $N$ всегда простое (это не так).
2) Вариант с факториалом / примориалом
- Суть: взять $N=n!+1$ или $N=p_1{p}_2\cdots p_n+1$ (примориал). Аналогично: ни одно из перечисленных простых не делит $N$.
- Преимущества: ещё более простой для восприятия; показывает ту же идею.
- Недостатки: те же, что у Евклида (нет оценок распределения).
3) Доказательство Эйлера (аналитическое)
- Суть: использовать представление дзета-функции как произведения по простым: $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\prod _p\frac{1}{1-1/p}$. Левая сумма (гармонический ряд) расходится, значит правая не может быть конечным произведением — простых бесконечно много. Другой вариант: доказать, что $\sum _p\frac{1}{p}=\infty$.
- Преимущества: даёт количественную информацию (логарифмическая дивергенция сумм по простым), путь к оценкам плотности простых.
- Недостатки: требует аналитических знаний про ряды/произведения; не столь «элементарно» по сравнению с Евклидом.
4) Доказательство через числа Ферма (последовательность попарно взаимно простых чисел)
- Суть: определить $F_n=2^{2^n}+1$. Из равенства $F_n-2=\prod _{i=0}^{n-1}{F}_i$ следует, что любые два различных $F_i,F_j$ взаимно просты; поэтому каждый $F_n$ имеет простой делитель, новый по сравнению с предыдущими, что даёт бесконечно много разных простых делителей.
- Преимущества: конструктивно и элегантно; использует простое свойство попарной взаимной простоты.
- Недостатки: не даёт явных простых (многие $F_n$ композитны), и метод опирается на специально сконструированную последовательность; менее универсален.
5) Доказательство через биномиальные коэффициенты / постулат Бертрана
- Суть (с применением Бертрана): для любого $n>1$ существует простое $p$ такое, что $n<p<2n$. Значит, простых бесконечно много. Один путь получения этого — анализ простоты делителей $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$.
- Преимущества: даёт контролируемые интервалы, т.е. информацию о росте простых.
- Недостатки: доказательство Бертрана (Чебышёв и др.) не тривиально; требует дополнительных средств.
6) Топологическое доказательство Фёрстенберга
- Суть: на множестве целых чисел вводится топология, базовые открытые множества — арифметические прогрессии. Множество всех чисел, делящихся некоторым простым, — объединение таких прогрессий. Если простых было бы конечное число, множество этих делимых было бы закрытым, и его дополнение (например $\{-1,1\}$) стало бы открытым, что противоречит свойствам введённой топологии. Следовательно, простых бесконечно много.
- Преимущества: концептуально необычно, связывает арифметику с топологией.
- Недостатки: метод нетривиален по идее (использует топологию), не даёт конструктивных новых простых и мало информативен о распределении.
7) Доказательства через теоремы о примитивных делителях (Zsigmondy и т.п.)
- Суть: для последовательностей типа $a^n-b^n$ (с некоторыми исключениями) существует примитивный простой делитель, появляющийся впервые на шаге $n$. Это даёт бесконечность простых.
- Преимущества: мощный, применим к множеству экспоненциальных последовательностей; даёт системный источник новых простых.
- Недостатки: теоремы глубже и сложнее, не элементарны.
Краткая сводка по критериям
- Простота/элементарность: Евклид, факториал, Ферма — самые простые.
- Конструктивность (как получить явные новые простые): частично у Евклида/Ферма, но явные простые не гарантируются.
- Количественная информация (о плотности/росте): Эйлер и методы типа Бертрана дают такую информацию.
- Оригинальность/связь с другими областями: Фёрстенберг (топология), Zsigmondy (теория рядов и групп).
Если нужно, могу привести полные формулировки и короткие доказательства каждого из перечисленных альтернативных методов.