- Область сходимости: радиус сходимости равен 1 (по признаку Коши/радикальному или отношению). Значит ряд сходится при $|x|<1$ (абсолютно). На концах: при $x=1$ получаем ${\sum }_{n=1}^{\infty }1/n$ — расходится; при $x=-1$ — ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n/n$ сходится условно и даёт $-\ln 2$.
- Равномерная сходимость: ряд (как степенной ряд) сходится равномерно на любых компактных подмножествех интервала сходимости, т.е. на любых отрезках вида $[a,b]$ с $-1<a<b<1$ (в частности на $[-r,r]$ для любого $r\in (0,1)$). Равномерной сходимости на всём $(-1,1)$ нет (например, из-за разрастания суммы при $x\to 1^{-}$) и нет равномерной сходимости на отрезках, достигающих $1$.
- Дифференцируемость суммы: для $|x|<1$ можно почленно дифференцировать, потому что ряд производных ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}$ — геометрический — сходится равномерно на компактах внутри $|x|<1$. Следовательно
$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}(|x|<1)$$ дифференцируема на $(-1,1)$ и
$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=\frac{1}{1-x}(|x|<1).$$ Интегрирование/инициализация даёт
$$S(x)=-\ln (1-x)\text{при}|x|<1$$ (проверка: $S(0)=0$).
- Поведение в точке $x=-1$: ряд сходится (условно) к $-\ln 2$, но ряд производных в этой точке расходится, поэтому почленное дифференцирование в $x=-1$ не обосновано. Заметим, однако, что аналитическое продолжение $-\ln (1-x)$ даёт значение и производную в точке $-1$ (одно-сторонне), но это выходит за пределы действия почленного дифференцирования ряда на границе круга сходимости.