Ключевое: уравнение задано при области определения логарифма и дроби. Домен исходного уравнения
$\ln x=\frac{1}{x-1}$ — это $x>0$ и $x\ne 1$ (то есть $x\in (0,1)\cup (1,\infty )$).
Анализ шага «умножить на $x-1$»:
- При любом $x$ из допустимой области $x-1\ne 0$, поэтому умножение на $x-1$ даёт эквивалентное уравнение
$(x-1)\ln x=1$.
Этот шаг обратим (деление на $x-1$ возвращает исходное уравнение), следовательно сам по себе он не теряет и не порождает решений, если сохраняется требование $x\ne 1$.
- Если же студент не учитывает область определения и затем, например, подставляет или сохраняет $x=1$ как решение (или сокращает множитель, содержащий потенциально нулевой множитель без проверки), то может появиться «корень» $x=1$, который в исходном уравнении недопустим (экстранеous). Аналогично, если после преобразований получили корни вне $x>0$ (например $x\le 0$), они тоже являются посторонними и должны быть отброшены.
Вывод: сам по себе шаг «умножить обе части на $x-1$» допустим и не приводит к потерям/появлениям корней при явном соблюдении домена $x>0,x\ne 1$. Все найденные корни нужно проверить в исходном уравнении, чтобы отсеять недопустимые (в первую очередь $x=1$ и значения $\le 0$).