Кратко — условие и последствия.
Условие:
- При $P(B)>0$ равенство $P(A\mid B)=P(A)$ эквивалентно любому из следующих равносильных условий:
$$P(A\cap B)=P(A)P(B),\text{или}P(B\mid A)=P(B).$$ - Если $P(B)=0$, то $P(A\mid B)$ в обычном смысле не определена (требуется более тонкая теория условных вероятностей).
Примеры:
1) Независимые события. Два броска честной монеты: $A$ = «первый бросок — орёл», $B$ = «второй бросок — орёл». Тогда
$$P(A)=\frac{1}{2},P(A\mid B)=\frac{1}{2},$$ т.е. $P(A\mid B)=P(A)$ (независимость).
2) Зависимые события. Две вытяжки карт без возвращения из колоды: $A$ = «первая карта — туз», $B$ = «вторая карта — туз». Тогда
$$P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13},P(A\cap B)=\frac{4}{52}\cdot \frac{3}{51},P(A\mid B)=\frac{3}{51}=\frac{1}{17}\ne \frac{1}{13},$$ т.е. $B$ меняет вероятность $A$.
Последствия для байесовского вывода:
- По формуле Байеса
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$$ Равенство $P(A\mid B)=P(A)$ (при $P(B)>0$) означает $P(B\mid A)=P(B)$: наблюдение $B$ не меняет правдоподобия гипотезы $A$ — данные неинформативны относительно $A$.
- Если же $P(A\mid B)\ne P(A)$, то наблюдение даёт информацию и нужно обновлять априор $P(A)$ в постериор $P(A\mid B)$.
- В практике важно проверять предположение (условную) независимость: если неверно, то простое игнорирование связи приведёт к ошибочным выводам.
Коротко: $P(A\mid B)=P(A)$ тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ независимы (при $P(B)>0$); это значит, что наблюдение $B$ не меняет априорное знание о $A$.