Кратко: идея верна, но в изложении студента обычно пропущены три ключевых шага: (i) строгое доказательство монотонности $a_n$ и $b_n$; (ii) проверка ограниченности (чтобы применить теорему о монотонной сходящейся последовательности); (iii) доказательство, что пределы обеих последовательностей совпадают (т.е. разность стремится к нулю). Кроме того нужно уточнить, как определяется число $e$ — как этот предел или как значение $e^1$ через ряд/экспоненту — чтобы избежать кругового определения. Ниже — сжатое исправленное доказательство и замечания.
1) Монотонность.
- Для $a_n=(1+1/n{)}^n$ достаточно рассмотреть функцию $f(x)=x\ln (1+1/x)$ на $(0,\infty )$. Её производная
$$f^{\prime }(x)=\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1},$$ и для $t>-1$ справедливо $\ln (1+t)\ge \frac{t}{1+t}$ с $t=\frac{1}{x}$. Отсюда $f^{\prime }(x)\ge 0$, значит $f$ неубывает и, в частном случае, последовательность $a_n=e^{f(n)}$ неубывает (нестрого возрастающая).
- Для $b_n=(1+1/n{)}^{n+1}$ рассмотрим $g(x)=(x+1)\ln (1+1/x)$. Тогда
$$g^{\prime }(x)=\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x},$$ и для $t>-1$ верно $\ln (1+t)\le t$ с $t=\frac{1}{x}$, поэтому $g^{\prime }(x)\le 0$. Значит $g$ не возрастает и $b_n=e^{g(n)}$ нестрого убывает.
2) Отношение и ограниченность.
- Для всех $n$ видно $a_n\le b_n$ (так как $b_n=a_n(1+1/n)$).
- Так как $b_n$ нестрого убывает, оно ограничено сверху числом $b_1$; тогда $a_n\le b_n\le b_1$, значит $a_n$ ограничено сверху. Значит обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно имеют пределы:
$$A:=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n,B:=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n,A\le B.$$
3) Пределы совпадают.
- Заметим
$$b_n-a_n=a_n(1+\frac{1}{n}-1)=\frac{a_n}{n}.$$ Поскольку $a_n$ ограничена (например $a_n\le b_1$), имеем $\frac{a_n}{n}\to 0$. Следовательно $b_n-a_n\to 0$ и из $A\le B$ следует $A=B$. Значит обе последовательности сходятся к одному числу
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}=:\ell .$$
4) Связь с числом $e$.
- Если $e$ определяется как этот предел, доказательство закончено.
- Если $e$ определяется, например, как ряд ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}$ или как $e^1$, то нужно дополнительно доказать равенство $\ell =e$. Стандартный короткий приём: из биномиальной формулы
$$(1+\frac{1}{n}{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le \sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=e,$$ отсюда $\ell \le e$. Остальную сторону добивают оценками остатка ряда или другими неравенствами, чтобы получить $\ell \ge e$; итого $\ell =e$.
Резюме рекомендаций для студента: явно доказать монотонность (например через производные $f^{\prime },g^{\prime }$ или элементарно через неравенства), показать ограниченность (через $a_n\le b_n\le b_1$), вывести совпадение пределов через оценку $b_n-a_n=a_n/n\to 0$, и явно оговорить определение $e$ (или добавить короткое доказательство равенства с рядом $\sum 1/k!$). Тогда доказательство станет полным и строгим.