Кратко и по делу.
Определение и область: функция задана для $x\ne 0$ как $g(x)=\frac{\sin x}{x}$. Часто рассматривают её продолжение в нуле определением $g(0)=1$.
Непрерывность в нуле:
- Существует предел $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Доказательства:
- лемма о зажатой: для $x>0$ справедливо $\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$, откуда при $x\to 0$ предел равен $1$; аналогично для $x\to 0^{-}$;
- или правило Лопиталя: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$;
- или разложение Тейлора: $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\Rightarrow \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)$.
- Следовательно $g$ имеет устранимую особенность в $0$; при определении $g(0)=1$ функция непрерывна в $0$.
Поведение на бесконечности:
- По неравенству ∣sin⁡xx∣≤1∣x∣\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac{1}{|x|} xsinx ≤∣x∣1 следует $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$.
- Функция осциллирует (из-за синуса), но амплитуда осцилляций стремится к нулю.
Критические точки и экстремумы:
- Для $x\ne 0$ производная
$$g^{\prime }(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.$$ Критические точки решают $x\cos x-\sin x=0$, то есть (если $\cos x\ne 0$) эквивалентно
$$\tan x=x.$$ - Корень $x=0$ даёт локальный (и глобальный) максимум при продолжении $g(0)=1$, поскольку рядом $g(x)=1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)$.
- Уравнение $\tan x=x$ имеет бесконечно много ненулевых корней $\{\pm x_n\}$ с $x_n\to \infty$. Эти корни дают чередующиеся локальные минимумы и максимумы (из-за знака $g^{\prime }$ между корнями); их значения по абсолютной величине убывают к нулю, т.к. для критического $x_n$ выполняется $|g(x_n)|\le 1/|x_n|\to 0$.
- Глобального отрицательного минимума нет (инфимум отрицателен, но достигается в первом отрицательном локальном минимуме и затем значения стремятся к 0).
Методы доказательств, которые используются:
- Неравенство зажатой (squeeze) и геометрическое неравенство $\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$ — для предела в нуле.
- Правило Лопиталя или разложение Тейлора — альтернативные доказательства предела и поведения около $0$.
- Дифференцирование ($g^{\prime }$) — для нахождения экстремумов и изучения монотонности.
- Анализ уравнения $\tan x=x$, свойства периодичности $\sin$, чередование знаков и теоремы Ролля/среднего значения — для расположения и характера критических точек.
- Оценки через ∣sin⁡xx∣≤1∣x∣\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac{1}{|x|} xsinx ≤∣x∣1 — для предела на бесконечности и убывания амплитуды экстремумов.
Краткое итоговое заключение: при продолжении $g(0)=1$ функция непрерывна и гладка на $\mathbb{R}$; имеет глобальный максимум $1$ в $0$, бесконечно много чередующихся локальных экстремумов, осциллирует, а её значения стремятся к $0$ при $|x|\to \infty$.