Пусть у нас есть треугольник ABC, где стороны AB, BC и AC равны a, b и c соответственно, а углы напротив этих сторон равны A, B и C.

Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника выполнено следующее соотношение:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту CD, которая перпендикулярна стороне AC и делит треугольник на два прямоугольных треугольника ACD и BCD. Пусть h - высота треугольника, а x и y - отрезки CD и AD соответственно.

Тогда:

cos(C) = x / a
cos(C) = y / b

Из этих уравнений получаем:

x = a cos(C)
y = b cos(C)

Также из прямоугольных треугольников ACD и BCD можем получить:

x^2 = h^2 + y^2
y^2 = h^2 + (a - x)^2

Подставляя значения x и y, получаем:

a^2 cos^2(C) = h^2 + b^2 cos^2(C)
b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 - 2a x + x^2

Подставляем сюда x^2 из первого уравнения и получаем:

b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 - 2a x + a^2 * cos^2(C)

Разбиваем на части и приводим к нужному виду:

b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 - 2a x + a^2 cos^2(C)
b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 - 2a a cos(C) + a^2 cos^2(C)
b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 - 2a^2 cos(C) + a^2 cos^2(C)
b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 - 2a^2 cos(C) + a^2 cos^2(C)
b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 + a^2 cos^2(C) - 2a^2 cos(C)
b^2 cos^2(C) = h^2 + a^2 (1 + cos^2(C) - 2 * cos(C))

Так как h = c * sin(C), подставляем это в уравнение и получаем:

b^2 cos^2(C) = c^2 sin^2(C) + a^2 (1 + cos^2(C) - 2 cos(C))

Также замечаем, что sin^2(C) = 1 - cos^2(C), подставляем это и получаем:

b^2 cos^2(C) = c^2 (1 - cos^2(C)) + a^2 (1 + cos^2(C) - 2 cos(C))
b^2 cos^2(C) = c^2 - c^2 cos^2(C) + a^2 + a^2 cos^2(C) - 2a^2 cos(C)

Сокращаем и приводим к нужному виду:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Таким образом, мы доказали теорему косинусов.