Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой половинного угла и формулой сложения для косинуса:

cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Подставим в исходное тождество:

2cos²(π/4 - 2α) = 2cos²(π/4)cos(2α) + 2sin(π/4)sin(2α) = 2 (sqrt(2)/2)² (1 - 2sin²(α)) + sqrt(2)/2 * 2sin(α)cos(α)

Упростим:

2 (2/4) (1 - 2sin²(α)) + sqrt(2)/2 2sin(α)cos(α) = 1 - 2sin²(α) + sqrt(2)/2 2sin(α)cos(α) = 1 - 2sin²(α) + sqrt(2)sin(2α) = sin(4α) + 1

Таким образом, тождество доказано.