Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения
[tex]x\sqrt{1+y^2} +yy'\sqrt{1+x^2} =0[/tex]
преобразуем его к виду
[tex]x\sqrt{1+y^2} dx = -yy'\sqrt{1+x^2} dy[/tex]
Интегрируем обе части уравнения:
[tex]\int x\sqrt{1+y^2} dx = \int -yy'\sqrt{1+x^2} dy[/tex]
Получаем общий интеграл:
[tex]\frac{1}{3}(x^2(1+y^2)^{3/2} - (1+y^2)^{3/2}) = C[/tex]

Для решения задачи Коши
[tex]y'-y \cot x = 2x\sin x, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0[/tex]
Методом вариации постоянной находим общее решение дифференциального уравнения, а затем подставляем начальное условие для нахождения константы интегрирования.

Общее решение дифференциального уравнения
[tex]y'+2y = y^2\tan x[/tex]
будет иметь вид:
[tex]y(x) = -\frac{1}{\tan x + C}[/tex]

Частное решение дифференциального уравнения
[tex]y''-2y'+y=0, \quad y(0)=-2, \quad y'(0)=0[/tex]
можно найти путем нахождения характеристического уравнения, используя начальные условия. Полученное частное решение будет:
[tex]y(x) = -2e^x[/tex]